Построение математической модели оптимального управления обеспечивающего мягкую посадку при (стр. 2 из 3)

Составим гамильтониан Н:

;

.

Оптимальному управлению соответствует максимум функции Гамильтона в заданной области возможных управлений. Причем этот максимум равен нулю.

То есть нужно добиться максимума этой функции, меняя u₁. Это и будет оптимальное управление.

Для функций ψ_i тоже получим сопряженные уравнения, которые имеют вид

:

– так как функция не зависит от х₀,

следовательно производная равна нулю;

– аналогично, так как функция не зависит от х₁.

Итак, нужно найти максимум гамильтониана:

Функция переключения:

Используя для вычислений Mathcad, получим оптимальное управление:

Таким образом оказалось, что оптимальное управление должно осуществляться на предельных ресурсах. То есть либо двигатель должен быть совсем выключен (при K_u<0), либо включен на максимальную мощность (при K_u>0).

Посмотрим, как меняется функция переключения К_u во времени:

;

Для определения ψ₁ и ψ₂ решаем сопряженные уравнения:

, следовательно, ψ₁ = const, обозначим ψ₁=с₁.

, следовательно, , где c₂ = const.

Итак,

Масса КА всегда положительна, а с=3000 = const – величина постоянная, поэтому производная

имеет всегда постоянный (один и тот же) знак. То есть величина K_u либо всё время монотонно возрастает, либо всё время монотонно убывает. А это означает, что она может пройти через ноль только один раз.

Рассмотрим четыре возможных случая:

а) K_u>0 для всех

;

б) K_u<0 для всех

;

в) K_u>0 для

, K_u<0 для ;

г) K_u<0 для

, K_u>0 для .

В случаях б) (когда двигатель КА выключен на всем протяжении посадки) и в) (когда двигатель включен на максимальную мощность до какого-то момента времени t=t*, а затем полет происходит с выключенным двигателем до самой посадки) – говорить о мягкой посадке не приходится. Эти варианты означают падение КА на планету. Поэтому оптимальными (и вообще допустимыми) их считать нельзя.

Следовательно, остаются два реализуемых варианта – а) и г). И оптимальное управление предполагает либо всё время включенный на максимальную мощность двигатель, либо полет с выключенным двигателем до какого-то момента t=t*, а затем полет с двигателем, включенным на максимальную мощность до момента посадки. Естественно, что во втором случае (г) расход топлива меньше, так как часть пути проделывается с выключенным двигателем.

Поэтому оптимальным управлением в данной ситуации можно считать полет с выключенным двигателем, затем происходит включение двигателя и полет продолжается с двигателем, включенным на максимальную мощность.

Итак, оптимальному управлению соответствует

На первом участке полета, на котором u₁=0:

; ; ;

;

;

.

Рассмотрим второй участок полета u₁=7,083:

Зададимся условием, что при t=t* (в момент включения двигателя):

;

;

.

На отрезке полета со включенным двигателем:

;

так как

, запишем:

.

Теперь, зная х₃, можно выразить х₂:

.

Теперь, зная х₂ выразим х₁:

;

На отрезке пути h(t):

В момент посадки t=T высота и скорость должны быть равны нулю, то есть

и . На основании этого утверждения приравняем х₁(T) и х₂(Т) нулю и получим таким образом два уравнения относительно t* и T. Таким образом, краевая задача у нас свелась к системе, состоящей из двух нелинейных уравнений относительно двух неизвестных t* и Т: