Построение математической модели оптимального управления обеспечивающего мягкую посадку при (стр. 1 из 3)

Исходные данные к курсовому проекту

Рассматривается последний этап посадки космического аппарата (КА) на планету. При построении математической модели предположим:

1) посадка осуществляется по нормали к поверхности планеты, планета неподвижна и в районе посадки плоская;

2) на КА действуют сила тяжести G=mg, причем g=const и сила тяги

, где с=const, а β – секундный расход массы m, ;

3) аэродинамические силы отсутствуют.

Уравнения движения КА могут быть представлены в виде:

; ; , где h – текущая высота;

или в нормальной форме:

; ; ; .

Здесь введены обозначения:

; ; ; ; .

Граничные условия имеют вид:

; ; ; ; ,

причем Т заранее неизвестно. Требуется найти программу управления u*(t), обеспечивающую мягкую посадку при минимальном расходе топлива, то есть

.

Исходные данные для расчетов

Начальная масса КА , кг.	Начальная высота , км.	Начальная скорость , км/с	Отношение силы тяги к начальной массе , м/с2
500	190	2,65	42,5
=190000 м.	=2650 м/с

Ускорение силы тяжести для планеты g=1,62 м/с², величина с=3000 м/с.

Задание к курсовому проекту

1.) Составить гамильтониан Н, воспользовавшись необходимыми условиями оптимальности для задачи Майера.

2.) Из условия максимизации Н по u найти оптимальное управление.

3.) Получить каноническую систему уравнений и в результате прийти к краевой задаче, для которой в момент t=0 заданы компоненты x₀, x₁, x₂, а в момент t=T‑компоненты x₁, x₂, ψ₀.

4.) Из условия Н(Т)=0 получить соотношение для определения неизвестного времени Т.

5.) Произвести анализ необходимых условий оптимальности, начав с исследования возможности существования особого вырожденного управления, то есть случая, когда функция переключения

.

Доказать, что К_u не может обратиться в нуль на конечном интервале времени и, следовательно, особого управления в данной задаче не существует.

Показать, что К_u есть монотонная функция t.

Рассмотреть четыре возможных случая:

а) K_u>0 для всех

;

б) K_u<0 для всех

;

в) K_u>0 для

, K_u<0 для ;

г) K_u<0 для

, K_u>0 для .

Показать, в каких случаях (из физических соображений) мягкая посадка невозможна, в каком из реализуемых случаев расход топлива меньше.

Получить программу оптимального управления, когда до некоторого момента t₁ управление отсутствует u*=0, а начиная с t=t₁, управление равно своему максимальному значению u*=u_max, что соответствует минимальному расходу топлива.

6.) Решить каноническую систему уравнений, рассматривая ее для случаев, когда

и управление u*=0, и когда , u*=u_max.

Приравнивая х₁(Т) и х₂(Т) нулю, получить два уравнения относительно t₁ и Т. Таким образом, краевую задачу свести к системе, состоящей из двух нелинейных уравнений относительно двух неизвестных t₁, Т. Составить программу расчета. Получив решение этой системы, решить полностью исходную задачу программирования оптимального управления мягкой посадкой КА на планету. В заключение следует построить фазовую траекторию спуска КА и определить конечную массу m(Т).

Выполнение задания курсового проекта

Нам известно, что

, где с – сила тяги двигателя,

m – масса космического аппарата;

– ускорение аппарата.

То есть, масса · ускорение = сумме сил, действующих на аппарат.

β – секундный расход массы m:

.

Расход массы обеспечивает силу тяги двигателя (P=c·β), ее можно менять в пределах

.

можно найти из исходных данных – выразив из отношения силы тяги к начальной массе P_max/m(0):

;

;

кг/с.

Наш критерий оптимизации

. Введем принятые в исходных данных обозначения:

; .

Начальный момент времени t=0, конечный момент времени – момент посадки КА (момент столкновения с планетой) t=T.

;

Тогда критерий оптимизации:

;

. (Здесь .)

Теперь необходимо написать уравнение состояния системы. Для этого нужно ввести переменные состояния и входную переменную.

Порядок дифференциального уравнения n=3, отсюда 3 уравнения состояния:

;

;

.

Выберем управление:

;

Подставляем уравнения состояния, получим:

так как

и , отсюда

;

;

.

Критерий оптимизации:

.

Введем переменные х₀ и х_n+1 (то есть х₄).

, где t – текущее время.

.

Тогда основные уравнения состояния: