Смекни!
smekni.com

Тригонометрические уравнения и неравенства (стр. 10 из 12)

Ответ.

.

Неравенства с обратными тригонометрическими функциями удобно решать с использованием графиков обратных тригонометрических функций. Покажем, как это делается на примере.

Решение тригонометрических неравенств графическим методом

Заметим, что если

--- периодическая функция, то для решения неравенства
необходимо найти его решения на отрезке, длина которого равна периоду функции
. Все решения исходного неравенства будут состоять из найденных значений
, а также всех
, отличающихся от найденных на любое целое число периодов функции
.

Рассмотрим решение неравенства

(
).

Поскольку

, то при
неравенство решений не имеет. Если
, то множество решений неравенства
--- множество всех действительных чисел.

Пусть

. Функция синус имеет наименьший положительный период
, поэтому неравенство
можно решить сначала на отрезке длиной
, например, на отрезке
. Строим графики функций
и
(
).

На отрезке

функция синус возрастает, и уравнение
, где
, имеет один корень
. На отрезке
функция синус убывает, и уравнение
имеет корень
. На числовом промежутке
график функции
расположен выше графика функции
. Поэтому для всех
из промежутка
) неравенство
выполняется, если
. В силу периодичности функции синус все решения неравенства
задаются неравенствами вида:
.

Аналогично решаются неравенства

,
, и т.п.

Пример Решим неравенство

.

Решение. Рассмотрим график функции

и выберем из промежутка

на оси
значения аргумента
, которым соответствуют точки графика, лежащие выше оси
. Таким промежутком является интервал
. Учитывая периодичность функции
все решения неравенства
можно записать так:
.

Ответ.

.

Пример Решите неравенство

.

Решение. Нарисуем график функции

. Найдём точку пересечения этого графика с горизонтальной прямой
.

Это точка с абсциссой

. По графику видно, что для всех
график функции лежит ниже прямой
. Следовательно, эти
и составляют:

Ответ.

.

ОТБОР КОРНЕЙ

Проблема отбора корней, отсеивания лишних корней при решении тригонометрических уравнений весьма специфична и обычно оказывается более сложной, чем это имело место для уравнений алгебраических. Приведем решения уравнений, иллюстрирующие типичные случаи появления посторонних корней и методы <<борьбы>> с ними.

Пример Найти ближайший к числу

корень уравнения

Решение.

Подставляя последовательно в формулу

вместо переменной
выписанные выше серии решений уравнений, отыщем для каждой из них
, а затем сравним полученные минимальные
между собой.

a)

Ясно, что

достигается при
, то есть
.

б)

.

в)

.

г)

.

.

Выберем минимальное из чисел

,
. Сразу ясно, что
и что
. Оталось сравнить
и
. Предположим, что