Ответ.
.Неравенства с обратными тригонометрическими функциями удобно решать с использованием графиков обратных тригонометрических функций. Покажем, как это делается на примере.
Заметим, что если
--- периодическая функция, то для решения неравенства необходимо найти его решения на отрезке, длина которого равна периоду функции . Все решения исходного неравенства будут состоять из найденных значений , а также всех , отличающихся от найденных на любое целое число периодов функции .Рассмотрим решение неравенства
( ).Поскольку
, то при неравенство решений не имеет. Если , то множество решений неравенства --- множество всех действительных чисел.Пусть
. Функция синус имеет наименьший положительный период , поэтому неравенство можно решить сначала на отрезке длиной , например, на отрезке . Строим графики функций и ( ).На отрезке
функция синус возрастает, и уравнение , где , имеет один корень . На отрезке функция синус убывает, и уравнение имеет корень . На числовом промежутке график функции расположен выше графика функции . Поэтому для всех из промежутка ) неравенство выполняется, если . В силу периодичности функции синус все решения неравенства задаются неравенствами вида: .Аналогично решаются неравенства
, , и т.п.Пример Решим неравенство .
Решение. Рассмотрим график функции
и выберем из промежутка
на оси значения аргумента , которым соответствуют точки графика, лежащие выше оси . Таким промежутком является интервал . Учитывая периодичность функции все решения неравенства можно записать так: .Ответ.
.Пример Решите неравенство .
Решение. Нарисуем график функции
. Найдём точку пересечения этого графика с горизонтальной прямой .Это точка с абсциссой
. По графику видно, что для всех график функции лежит ниже прямой . Следовательно, эти и составляют:Ответ.
.Проблема отбора корней, отсеивания лишних корней при решении тригонометрических уравнений весьма специфична и обычно оказывается более сложной, чем это имело место для уравнений алгебраических. Приведем решения уравнений, иллюстрирующие типичные случаи появления посторонних корней и методы <<борьбы>> с ними.
Пример Найти ближайший к числу корень уравнения
Решение.
Подставляя последовательно в формулу
вместо переменной выписанные выше серии решений уравнений, отыщем для каждой из них , а затем сравним полученные минимальные между собой.a)
Ясно, что
достигается при , то есть .б)
.в)
.г)
. .Выберем минимальное из чисел
, . Сразу ясно, что и что . Оталось сравнить и . Предположим, что