Тригонометрические уравнения и неравенства (стр. 2 из 12)

При решении тригонометрических уравнений важную роль играет период тригонометрических функций. Поэтому приведем две полезные теоремы:

Теорема Если

--- основной период функции

, то число

является основным периодом функции

.

Периоды функций

и называются соизмеримыми, если существуют натуральные числа и , что .

Теорема Если периодические функции

и

, имеют соизмеримые

и

, то они имеют общий период

, который является периодом функций

,

,

.

В теореме говорится о том, что

является периодом функции , , , и не обязательно является основным периодом. Например, основной период функций и --- , а основной период их произведения --- .

Введение вспомогательного аргумента

Стандартным путем преобразования выражений вида

является следующий прием: пусть --- угол, задаваемый равенствами , . Для любых и такой угол существует. Таким образом . Если , или , , , в других случаях .

Схема решения тригонометрических уравнений

Основная схема, которой мы будем руководствоваться при решении тригонометрических уравнений следующая:

решение заданного уравнения сводится к решению элементарных уравнений. Средства решения --- преобразования, разложения на множители, замена неизвестных. Ведущий принцип --- не терять корней. Это означает, что при переходе к следующему уравнению (уравнениям) мы не опасаемся появления лишних (посторонних) корней, а заботимся лишь о том, чтобы каждое последующее уравнение нашей "цепочки" (или совокупность уравнений в случае ветвления) являлось следствием предыдущего. Одним из возможных методов отбора корней является проверка. Сразу заметим, что в случае тригонометрических уравнений трудности, связанные с отбором корней, с проверкой, как правило, резко возрастают по сравнению с алгебраическими уравнениями. Ведь проверять приходится серии, состоящие из бесконечного числа членов.

Особо следует сказать о замене неизвестных при решении тригонометрических уравнений. В большинстве случаев после нужной замены получается алгебраическое уравнение. Более того, не так уж и редки уравнения, которые, хотя и являются тригонометрическими по внешнему виду, по существу таковыми не являются, поскольку уже после первого шага --- замены переменных --- превращаются в алгебраические, а возращение к тригонометрии происходит лишь на этапе решения элементарных тригонометрических уравнений.

Еще раз напомним: замену неизвестного следует делать при первой возможности, получившееся после замены уравнение необходимо решить до конца, включая этап отбора корней, а уж затем возвратится к первоначальному неизвестному.

Одна из особенностей тригонометрических уравнений заключается в том, что ответ во многих случаях может быть записан различными способами. Даже для решения уравнения

ответ может быть записан следующим образом:

1) в виде двух серий:

, , ;

2) в стандартной форме представляющей собой объединение указанных выше серий:

, ;

3) поскольку

, то ответ можно записать в виде , . (В дальнейшем наличие параметра , , или в записи ответа автоматически означает, что этот параметр принимает всевозможные целочисленные значения. Исключения будут оговариваться.)

Очевидно, что тремя перечисленными случаями не исчерпываются все возможности для записи ответа рассматриваемого уравнения (их бесконечно много).

Например, при

справедливо равенство . Следовательно, в двух первых случаях, если , мы можем заменить на .

Обычно ответ записывается на основании пункта 2. Полезно запомнить следующую рекомендацию: если на решении уравнения

работа не заканчивается, необходимо еще провести исследование, отбор корней, то наиболее удобна форма записи, указанная в пункте 1. (Аналогичную рекомендацию следует дать и для уравнения .)

Рассмотрим пример иллюстрирующий сказанное.

Пример Решить уравнение

.

Решение. Наиболее очевидным является следующий путь. Данное уравнение распадается на два:

и . Решая каждое из них и объединяя полученные ответы, найдем .

Другой путь. Поскольку

, то, заменяя и по формулам понижения степени. После небольших преобразований получим , откуда .

На первый взгляд никаких особых преимуществ у второй формулы по сравнению с первой нет. Однако, если возьмем, например,

, то окажется, что , т.е. уравнение имеет решение , в то время как первый способ нас приводит к ответу . "Увидеть" и доказать равенство не так просто.