Смекни!
smekni.com

Тригонометрические уравнения и неравенства (стр. 5 из 12)

Рассмотрим уравнение вида

где

,
,
, ...,
,
--- действительные числа. В каждом слагаемом левой части уравнения степени одночленов равны
, т. е. сумма степеней синуса и косинуса одна и та же и равна
. Такое уравнение называется однородным относительно
и
, а число
называется показателем однородности.

Ясно, что если

, то уравнение примет вид:

решениями которого являются значения

, при которых
, т. е. числа
,
. Второе уравнение, записанное в скобках также является однородным, но степени на 1 ниже.

Если же

, то эти числа не являются корнями уравнения .

При

получим:
,
и левая часть уравнения (1) принимает значение
.

Итак, при

,
и
, поэтому можно разделить обе части уравнения на
. В результате получаем уравнение:

которое, подстановкой

легко сводится к алгебраическому:

Однородные уравнения с показателем однородности 1. При

имеем уравнение
.

Если

, то это уравнение равносильно уравнению
,
, откуда
,
.

Пример Решите уравнение

.

Решение. Это уравнение однородное первой степени

. Разделим обе его части на
получим:
,
,
,
.

Ответ.

.

Пример При

получим однородное уравнение вида

Решение.

Если

, тогда разделим обе части уравнения на
, получим уравнение
, которое подстановкой
легко приводится к квадратному:
. Если
, то уравнение имеет действительные корни
,
. Исходное уравнение будет иметь две группы решений:
,
,
.

Если

, то уравнение не имеет решений.

Пример Решите уравнение

.

Решение. Это уравнение однородное второй степени. Разделим обе чести уравнения на

, получим:
. Пусть
, тогда
,
,
.
,
,
;
,
,
.

Ответ.

.

К уравнению вида сводится уравнение

Для этого достаточно воспользоваться тождеством

В частности, уравнение

сводится к однородному, если заменить
на
, тогда получим равносильное уравнение:

Пример Решите уравнение

.

Решение. Преобразуем уравнение к однородному:

Разделим обе части уравнения на

, получим уравнение:

Пусть
, тогда приходим к квадратному уравнению:
,
,
,
,
.

Ответ.

.