Рассмотрим уравнение вида
где
, , , ..., , --- действительные числа. В каждом слагаемом левой части уравнения степени одночленов равны , т. е. сумма степеней синуса и косинуса одна и та же и равна . Такое уравнение называется однородным относительно и , а число называется показателем однородности.Ясно, что если
, то уравнение примет вид:решениями которого являются значения
, при которых , т. е. числа , . Второе уравнение, записанное в скобках также является однородным, но степени на 1 ниже.Если же
, то эти числа не являются корнями уравнения .При
получим: , и левая часть уравнения (1) принимает значение .Итак, при
, и , поэтому можно разделить обе части уравнения на . В результате получаем уравнение:которое, подстановкой
легко сводится к алгебраическому:Однородные уравнения с показателем однородности 1. При
имеем уравнение .Если
, то это уравнение равносильно уравнению , , откуда , .Пример Решите уравнение .
Решение. Это уравнение однородное первой степени
. Разделим обе его части на получим: , , , .Ответ.
.Пример При получим однородное уравнение вида
Решение.
Если
, тогда разделим обе части уравнения на , получим уравнение , которое подстановкой легко приводится к квадратному: . Если , то уравнение имеет действительные корни , . Исходное уравнение будет иметь две группы решений: , , .Если
, то уравнение не имеет решений.Пример Решите уравнение .
Решение. Это уравнение однородное второй степени. Разделим обе чести уравнения на
, получим: . Пусть , тогда , , . , , ; , , .Ответ.
.К уравнению вида сводится уравнение
Для этого достаточно воспользоваться тождеством
В частности, уравнение
сводится к однородному, если заменить на , тогда получим равносильное уравнение:Пример Решите уравнение .
Решение. Преобразуем уравнение к однородному:
Разделим обе части уравнения на
, получим уравнение: Пусть , тогда приходим к квадратному уравнению: , , , , .Ответ.
.