Смекни!
smekni.com

Тригонометрические уравнения и неравенства (стр. 6 из 12)

Пример Решите уравнение

.

Решение. Возведем обе части уравнения в квадрат, учитывая, что они имеют положительные значения:

,
,

Пусть

, тогда получим
,
,
.

Ответ.

.

Уравнения, решаемые с помощью тождеств

Полезно знать следующие формулы:

Пример Решить уравнение

.

Решение. Используя , получаем

Ответ.

Предлагаем не сами формулы, а способ их вывода:

следовательно,

.

Аналогично,

.

Пример Решить уравнение

.

Решение. Преобразуем выражение

:

.

Уравнение запишется в виде:

Принимая

, получаем
.
,
. Следовательно

Ответ.

.

Универсальная тригонометрическая подстановка

Тригонометрическое уравнение вида

где

--- рациональная функция с помощью фомул -- , а так же с помощью формул -- можно свести к рациональному уравнению относительно аргументов
,
,
,
, после чего уравнение может быть сведено к алгебраическому рациональному уравнению относительно
с помощью формул универсальной тригонометрической подстановки

Следует отметить, что применение формул может приводить к сужению ОДЗ исходного уравнения, поскольку

не определен в точках
, поэтому в таких случаях нужно проверять, являются ли углы
, корнями исходного уравнения.

Пример Решить уравнение

.

Решение. По условию задачи

. Применив формулы и сделав замену
, получим

откуда

и, следовательно,
.

Уравнения вида

Уравнения вида

, где
--- многочлен, решаются с помощью замен неизвестных

Пример Решить уравнение

.

Решение. Сделав замену и учитывая, что

, получим

откуда

,
.
--- посторонний корень, т.к.
. Корнями уравнения
являются
.

НЕСТАНДАРТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

Использование ограниченности функций

В практике централизованного тестирования не так уж редко встречаются уравнения, решение которых основывается на ограниченности функций

и
. Например:

Пример Решить уравнение

.

Решение. Поскольку

,
, то левая часть не превосходит
и равна
, если

Для нахождения значений

, удовлетворяющих обоим уравнениям, поступим следующим образом. Решим одно из них, затем среди найденных значений отберем те, которые удовлетворяют и другому.

Начнем со второго:

,
. Тогда
,
.

Понятно, что лишь для четных

будет
.

Ответ.

.

Другая идея реализуется при решении следующего уравнения:

Пример Решить уравнение

.

Решение. Воспользуемся свойством показательной функции:

,
.

Сложив почленно эти неравенства будем иметь:

Следовательно левая часть данного уравнения равна

тогда и только тогда, когда выполняются два равенства:

т. е.

может принимать значения
,
,
, а
может принимать значения
,
.