Пример Решите уравнение .
Решение. Возведем обе части уравнения в квадрат, учитывая, что они имеют положительные значения:
, ,Пусть
, тогда получим , , .Ответ.
.Уравнения, решаемые с помощью тождеств
Полезно знать следующие формулы:
Пример Решить уравнение .
Решение. Используя , получаем
Ответ.
Предлагаем не сами формулы, а способ их вывода:
следовательно,
.Аналогично,
.Пример Решить уравнение .
Решение. Преобразуем выражение
: .Уравнение запишется в виде:
Принимая
, получаем . , . СледовательноОтвет.
.Универсальная тригонометрическая подстановка
Тригонометрическое уравнение вида
где
--- рациональная функция с помощью фомул -- , а так же с помощью формул -- можно свести к рациональному уравнению относительно аргументов , , , , после чего уравнение может быть сведено к алгебраическому рациональному уравнению относительно с помощью формул универсальной тригонометрической подстановкиСледует отметить, что применение формул может приводить к сужению ОДЗ исходного уравнения, поскольку
не определен в точках , поэтому в таких случаях нужно проверять, являются ли углы , корнями исходного уравнения.Пример Решить уравнение .
Решение. По условию задачи
. Применив формулы и сделав замену , получимоткуда
и, следовательно, .Уравнения вида
Уравнения вида
, где --- многочлен, решаются с помощью замен неизвестныхПример Решить уравнение .
Решение. Сделав замену и учитывая, что
, получимоткуда
, . --- посторонний корень, т.к. . Корнями уравнения являются .НЕСТАНДАРТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
В практике централизованного тестирования не так уж редко встречаются уравнения, решение которых основывается на ограниченности функций
и . Например:Пример Решить уравнение .
Решение. Поскольку
, , то левая часть не превосходит и равна , еслиДля нахождения значений
, удовлетворяющих обоим уравнениям, поступим следующим образом. Решим одно из них, затем среди найденных значений отберем те, которые удовлетворяют и другому.Начнем со второго:
, . Тогда , .Понятно, что лишь для четных
будет .Ответ.
.Другая идея реализуется при решении следующего уравнения:
Пример Решить уравнение .
Решение. Воспользуемся свойством показательной функции:
, .Сложив почленно эти неравенства будем иметь:
Следовательно левая часть данного уравнения равна
тогда и только тогда, когда выполняются два равенства:т. е.
может принимать значения , , , а может принимать значения , .