Ответ.
, .Пример Решить уравнение .
Решение.
, . Следовательно, .Ответ.
.Пример Решить уравнение
Решение. Обозначим
, тогда из определения обратной тригонометрической функции имеем и .Так как
, то из уравнения следует неравенство , т.е. . Поскольку и , то и . Однако и поэтому .Если
и , то . Так как ранее было установлено, что , то .Ответ.
, .Пример Решить уравнение
Решение. Областью допустимых значений уравнения являются
.Первоначально покажем, что функция
при любых может принимать только положительные значения.Представим функцию
следующим образом: .Поскольку
, то имеет место , т.е. .Следовательно, для доказательства неравенства
, необходимо показать, что . С этой целью возведем в куб обе части данного неравенства, тогдаПолученное численное неравенство свидетельствует о том, что
. Если при этом еще учесть, что , то левая часть уравнения неотрицательна.Рассмотрим теперь правую часть уравнения .
Так как
, то .Однако известно, что
. Отсюда следует, что , т.е. правая часть уравнения не превосходит . Ранее было доказано, что левая часть уравнения неотрицательна, поэтому равенство в может быть только в том случае, когда обе его части равны , а это возможно лишь при .Ответ.
.Пример Решить уравнение
Решение. Обозначим
и . Применяя неравенство Коши-Буняковского, получаем . Отсюда следует, что . C другой стороны имеет место . Следовательно, уравнение не имеет корней.Ответ.
.Пример Решить уравнение:
Решение. Перепишем уравнение в виде:
Ответ.
.Не всякое уравнение
в результате преобразований может быть сведено к уравнению того или иного стандартного вида, для которого существует определенный метод решения. В таких случаях оказывается полезным использовать такие свойства функций и , как монотонность, ограниченность, четность, периодичность и др. Так, если одна из функций убывает, а вторая возрастает на промежутке , то при наличии у уравнения корня на этом промежутке, этот корень единственный, и тогда его, например, можно найти подбором. Если же функция ограничена сверху, причем , а функция ограничена снизу, причем , то уравнение равносильно системе уравненийПример Решить уравнение
Решение. Преобразуем исходное уравнение к виду
и решим его как квадратное относительно
. Тогда получим,Решим первое уравнение совокупности. Учтя ограниченность функции
, приходим к выводу, что уравнение может иметь корень только на отрезке . На этом промежутке функция возрастает, а функция убывает. Следовательно, если это уравнение имеет корень, то он единственный. Подбором находим .Ответ.
.