Смекни!
smekni.com

Тригонометрические уравнения и неравенства (стр. 7 из 12)

Ответ.

,
.

Пример Решить уравнение

.

Решение.

,
. Следовательно,
.

Ответ.

.

Пример Решить уравнение

Решение. Обозначим

, тогда из определения обратной тригонометрической функции
имеем
и
.

Так как

, то из уравнения следует неравенство
, т.е.
. Поскольку
и
, то
и
. Однако
и поэтому
.

Если

и
, то
. Так как ранее было установлено, что
, то
.

Ответ.

,
.

Пример Решить уравнение

Решение. Областью допустимых значений уравнения являются

.

Первоначально покажем, что функция

при любых
может принимать только положительные значения.

Представим функцию

следующим образом:
.

Поскольку

, то имеет место
, т.е.
.

Следовательно, для доказательства неравенства

, необходимо показать, что
. С этой целью возведем в куб обе части данного неравенства, тогда

Полученное численное неравенство свидетельствует о том, что

. Если при этом еще учесть, что
, то левая часть уравнения неотрицательна.

Рассмотрим теперь правую часть уравнения .

Так как

, то

.

Однако известно, что

. Отсюда следует, что
, т.е. правая часть уравнения не превосходит
. Ранее было доказано, что левая часть уравнения неотрицательна, поэтому равенство в может быть только в том случае, когда обе его части равны
, а это возможно лишь при
.

Ответ.

.

Пример Решить уравнение

Решение. Обозначим

и
. Применяя неравенство Коши-Буняковского, получаем
. Отсюда следует, что
. C другой стороны имеет место
. Следовательно, уравнение не имеет корней.

Ответ.

.

Пример Решить уравнение:

Решение. Перепишем уравнение в виде:

Ответ.

.

Функциональные методы решения тригонометрических и комбинированных уравнений

Не всякое уравнение

в результате преобразований может быть сведено к уравнению того или иного стандартного вида, для которого существует определенный метод решения. В таких случаях оказывается полезным использовать такие свойства функций
и
, как монотонность, ограниченность, четность, периодичность и др. Так, если одна из функций убывает, а вторая возрастает на промежутке
, то при наличии у уравнения
корня на этом промежутке, этот корень единственный, и тогда его, например, можно найти подбором. Если же функция
ограничена сверху, причем
, а функция
ограничена снизу, причем
, то уравнение
равносильно системе уравнений

Пример Решить уравнение

Решение. Преобразуем исходное уравнение к виду

и решим его как квадратное относительно

. Тогда получим,

Решим первое уравнение совокупности. Учтя ограниченность функции

, приходим к выводу, что уравнение может иметь корень только на отрезке
. На этом промежутке функция
возрастает, а функция
убывает. Следовательно, если это уравнение имеет корень, то он единственный. Подбором находим
.

Ответ.

.