Высшая математика Матрица (стр. 2 из 3)

А = 1 1 1 0

1 2 2 1

0 3 2 2

Вычислим определитель матрицы А

2 2 1 0 2 2 1 0 2 2 1 1 1 0

∆ = 1 1 1 0 = 1 1 1 0 = (-1)³⁺⁴ * 1 1 1 = - 1 1 1 =

1 2 2 1 1 2 2 1 -2 -1 -2 0 1 0

0 3 2 2 -2 -1 -2 0

= - (-1)²⁺³ * 1 1 = 1

0 1

∆ ≠ 0, тогда система имеет решение х₂ = ∆ х₂ /∆

2 8 1 0 2 8 1 0 2 8 1 2 8 1

∆ х₂ = 1 3 1 0 = 1 3 1 0 = (-1)³⁺⁴ * 1 3 1 = - 1 5 0 =

1 3 2 1 1 3 2 1 -2 -3 -2 0 3 0

0 3 2 2 -2 -3 -2 0

= -(-1)¹⁺³ * 1 5 = ( 3 + 0 ) = 3

0 8

х₂ = 3 /1 = 3.

Решим систему методом Гаусса

2х₁ + 2х₂ + х₃ = 8 *(-2) *(-1)

х₁ + х₂ + х₃ = 3

х₁ + 2х₂ + 2х₃ + х₄ = 3

3х₂ + 2х₃ +2х₄ = 3

х₁ + х₂ + х₃ = 3

- х₃ = 2

х₂ + х₃ + х₄ = 0 *(-3)

3х₂ + 2х₃ +2х₄ = 3

х₁ + х₂ + х₃ = 3

х₂ + х₃ + х₄ = 0

- х₃ - х₄ = 3

х₃ = -2

1) х₃ = - 2 3) х₂ - 2 - 1= 0

2) 2 - х₄ = 3 х₂ = 3

х₄ = -1 4) х₁ + 3 - 2 = 3

х₁ = 2

Проверка :

2 + 3 – 2 =3, 3 = 3

4 + 3*3 – 2 = 8, 8 = 8

2 + 6 – 4 – 2 = 3, 3 =3

9 – 4 – 2 = 3 , 3 = 3.

Ответ : х₁ = 2 , х₂ = 3 , х₃ = - 2 , х₄ = -1.

7. Дана система линейных уравнений

3х₁ + х₂ - х₃ - х₄ = 2,

9х₁ + х₂ - 2х₃ - х₄ = 7,

х₁ - х₂ - х₄ = -1,

х₁ + х₂ - х₃ -3х₄ = -2.

Докажите ,что система совместна . Найдите её общее решение . (392.БЛ). Найдите частное решение , если х₄ = 1 .

Доказательство :

Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда , когда ранг основной матрицы

системы равен рангу расширенной матрицы .

Составим расширенную матрицу :

3 1 -1 -1 2 0 -2 2 8 8 0 0 1 6 7

А = 9 1 -2 -1 7 → 0 -8 7 26 25 → 0 0 3 18 21 =0

1 -1 0 -1 -1 0 -2 1 2 1 0 -2 1 2 1

1 1 -1 -3 -2 1 1 -1 -3 -2 1 1 -1 -3 -2

Первая и вторая строка пропорциональны следовательно А = 0. Поэтому ранг матрицы и расширенной матрицы равны 3 поэтому система является совместной .

Решим систему методом Гаусса :

запишем последнее уравнение на первое место :

х₁ + х₂ - х₃ -3х₄ = -2

3х₁ + х₂ - х₃ - х₄ = 2

9х₁ + х₂ - 2х₃ - х₄ = 7

х₁ - х₂ - х₄ = -1

1 1 -1 -3 -2 1 1 -1 -3 -2 1 1 -1 -3 -2

С = 3 1 -1 -1 2 → 0 2 -2 -8 -8 → 0 2 -2 -8 -8 →

9 1 -2 -1 7 0 8 -7 -26 -25 0 0 -1 -6 -7

1 -1 0 -1 -1 0 2 -1 -2 -1 0 0 -1 -6 -7

х₁ + х₂ - х₃ -3х₄ = -2

→ 2х₂- 2х₃ -8х₄ = -8

- х₃ -6х₄ = -7.

1) х₃ = 7 - 6х₄

2) х₂ - х₃ -4х₄ = -4

х₂ = х₃ + 4х₄ - 4

х₂ = 7 - 6х₄ + 4х₄ - 4

х₂ = 3 - 2х₄

3) х₁ = - х₂ + х₃ + 3х₄ - 2

х₁ = - 3+ 2х₄ + 7 - 6х₄ + 3х₄ – 2

х₁ = 2-х_{4 .}

Получаем общее решение системы :

х₁ = 2-х₄

х₂ = 3 - 2х₄

х₃ = 7 - 6х_4.

Найдём частное решение , если х₄ = 1 тогда

х₁ = 2– 1 = 1;

х₂ = 3 – 2*1 = 1;

х₃ = 7 – 6*1 =1.

Ответ : (1;1;1;1) – частное решение .

8. Дана система линейных однородных уравнений

2х₁ +3х₂ - х₃ - х₄ + х₅ = 0,

3х₁ - 2х₂ - 3х₃ -3х₅ = 0,

х₁ - 3х₂ + 2х₃ -5х₄ -2х₅ = 0.

Докажите , что система имеет нетривиальное решение . Найдите общее решение системы . Найдите какую-нибудь фундаментальную систему решений Доказательство :

Система имеет нетривиальное решение тогда и только тогда , когда ранг её матрицы меньше числа неизвестных .В этом случае ранг матрицы не больше трёх , а переменных в системе пять .

Решим систему методом Гаусса .

Запишем матрицу системы :

2 3 -1 -1 1 1 -3 2 -5 -2

А = 3 -2 3 0 -3 → 0 9 -5 9 5 │*7 →

1 -3 2 -5 -2 0 7 -3 15 3 │*(-9)

1 -3 2 -5 -2

→ 0 9 -5 9 5

0 0 -8 -72 8

х₁ -3х₂ + 2х₃ - 5х₄ -2х₅ = 0

9х₂ - 5х₃ + 9х₄ +5х₅ = 0

-8х₃ -72х₄ +8х₅ = 0

1) 8х₃ = -72х₄ + 8х₅

х₃ = - 9х₄ + х₅

2) 9х₂ + 45х₄ - 5х₅ + 9х₄ +5х₅ = 0

9х₂ + 36х₄ = 0

х₂= - 4х₄

3) х₁ +12х₄ - 18х₄ + 2х₅ - 5х₄ -2х₅ = 0

х₁ - 11х₄ = 0

х₁ =11х₄

Общее решение системы :

х₁ =11х₄

х₂= - 4х₄

х₃ = - 9х₄ + х₅

Найдём фундаментальную систему решений , положив х₄ = 1 , х₅ = 0.

х₁ =11*1 = 11,

х₂= - 4*1 = -4,

х₃ = - 9*1 + 0 = -9.

Пусть х₄ = 0, х₅ = 1.

х₁ =11*0 = 0,

х₂= - 4*0 = 0,

х₃ = - 9*0 + 1 = 1.

Ответ : (11;-4;-9;1;0)

(0; 0; 1; 0; 1).

9 (3СА). Найдите площадь параллелограмма , построенного на векторах а = 2р + 3r, b = p –2r , | p | = √2 , | r | = 3, (p,^r) = 45° .

Решение :

S =| [а , b] | = | [2р + 3r , p –2r] | = | 2[p , p] - 4[p, r ] + 3[r , p] -6[r , r] |

[p , p] = 0 , [r , r] = 0 , [r , p] = - [p, r ] .

S = | 7[r , p] | = 7| r | * | p | * sinφ

S = 7 * 3 * √2 * sin 45° = 21 * √2 * √2 / 2 =21 .

Ответ :S =21 .

10 (78Т). Вычислите Пр_BD[BC ,CD] , если B(6,3,3) ; C(6,4,2) ; D(4,1,4) .

Решение :

Найдём координаты векторов

BD = ( 4 – 6 , 1 – 3 , 4 – 3 ) = ( - 2 ; - 2 ; 1 ),

BC = ( 6 – 6 , 4 – 3 , 2 – 3 ) = ( 0 ; 1 ; - 1 ),

CD = ( 4 – 6 , 1 – 4 , 4 – 2 ) = ( - 2 ; - 3 ; 2 ).

Найдём векторное произведение :

i j k

[BC ,CD] = 0 1 -1 = i (2 – 3) – j (0 –2) + k (0 + 2) = - i + 2j + 2k .

-2 -3 2

Пусть [BC ,CD] = а , тогда а = ( -1 ; 2 ; 2 )

Пр_BD а = ( BD , a ) /| BD |

( BD , a ) = -2*( -1 ) – 2*2 + 1*2 = 2 –4 + 2 = 0 .

Пр_BDа = 0 .

Ответ : Пр_BDа = 0 .

11. Линейный оператор А действует в R₃ → R₃ по закону Ax = (- х₁ + 2х₂ + x₃ , 5х₂ , 3х₁ + 2х₂ + х₃ ), где х( х₁, х₂, х₃ ) – произвольный вектор .(125.РП). Найдите матрицу А этого оператора в каноническом базисе . Докажите , что вектор х(1,0 ,3) является собственным для матрицы А .(Т56). Найдите собственное число λ₀ ,соответствующее вектору х . (Д25.РП). Найдите другие собственные числа , отличные от λ₀ . Найдите все собственные векторы матрицы А и сделайте проверку .

Решение :

Ax = (- х₁ + 2х₂ + x₃ ; 5х₂ ; 3х₁ + 2х₂ + х₃ )

Найдём матрицу в базисе l₁ , l₂ , l₃

A_l1 = (-1 ; 2 ;1)

A_l2 = (0 ; 5 ; 0)

A_l3 = (3 ; 2 ; 1)

-1 2 1

A = 0 5 0

3 2 1 .

Докажем , что вектор х = (1 ,0 ,3) является собственным для матрицы А.

Имеем

-1 2 1 1 -1 + 0 + 3 2 1

Aх = 0 5 0 * 0 = 0 + 0 + 0 = 0 = 2 * 0

3 2 1 3 3 + 0 + 3 6 3 .

Отсюда следует , что вектор х = (1 ,0 ,3) собственный и отвечает собственному числу λ = 2 .

Составляем характеристическое уравнение :

-1 – λ 2 1