Решение. Находим первую производную:

.
Из уравнений

и

получаем точки, «подозрительные» на экстремум:

,

,

. Исследуем их, определяя знак первой производной слева и справа от каждой точки. Для наглядности результаты представим в виде таблицы изменения знака

:
В первой строке указаны интервалы, на которые область определения функции разбивается точками

,

,

и сами эти точки. Во второй строке указаны знаки производной

в интервалах монотонности. В третьей строке приведено заключение о поведении функции.

Исследуемая функция, как следует из таблицы, имеет минимум в точке

:

.
Точки

и

не являются точками экстремума, так как в первой точке функция не определена, а в окрестности второй точки первая производная сохраняет знак.
Пример 4. Найти асимптоты графика функции

.
Решение. Точка

является точкой разрыва функции. Так как

,
то прямая

служит вертикальной асимптотой
графика функции [см. формулы (7)].
Ищем наклонные асимптоты

, используя формулы (6):

,

.
Таким образом, уравнение наклонной асимптоты имеет вид

.
Пример 5. Построить график функции

, используя общую схему исследования функции.
Решение.
Область определения функции:

,

. Функция не является симметричной и периодической. Находим предельные значения функции:

;

;

.
График функции имеет одну вертикальную асимптоту

и одну наклонную асимптоту

(см. пример 4). Он пересекает координатные оси в точке

.
Функция имеет один минимум при

(см пример 3).
Вторая производная

обращается в бесконечность при

и равна нулю в точке

, которая является единственной точкой перегиба (см. таблицу):
Учитывая полученные результаты, строим график функции (рис. 8)

:

Рисунок 8
Пример 6. Найти первую производную функции y=f(x) , заданной параметрически:

.
Решение. Дифференцируем

и

по параметру

:

,

. Искомая производная от y по x равна отношению производных от

и

по

:

.
Пример 7. Найти частные производные

,

,

функции

.
Решение. Считая функцию

функцией только одной переменной

, а переменные

и

рассматривая как постоянные [см. формулу (8)], находим

. Аналогично, считая

функцией только

, а затем только

, получаем

,

.