Высшая математика в задачах и упражнениях (стр. 12 из 20)

Решение этой системы дает:

Таким образом,

Пример 5. Вычислить определенный интеграл

.

Решение. Применим метод замены переменной; положим

откуда Найдем пределы интегрирования по переменной t: при имеем , а при имеем Переходя в сходном интеграле к новой переменной t и применяя формулу Ньютона-Лейбница (5), получаем:

Пример 6. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость:

.

Решение. 1) Первый интеграл является несобственным интегралом с бесконечным верхним пределом интегрирования. Согласно определению (6), имеем:

;

Следовательно, данный интеграл расходится.

2) Второй интеграл является несобственным интегралом от неограниченной функции;

терпит бесконечный разрыв в нижнем пределе при Согласно определению (7), получаем:

т.е. этот несобственный интеграл сходится.

Пример 7. Вычислить плоской фигуры, ограниченной кривыми

(Рисунок 9).

Рисунок 9

Решение.

Пример 5. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox кривой

Решение. Объем полученного тела вращения найдем по формуле (8).

Задачи

Контрольная работа №1

Задача 1

Доказать совместность системы и решить её тремя способами: по формулам Крамера; методом Гаусса и средствами матричного исчисления.

Номер вар.	Система линейных уравнений	Номер вар.	Система линейных уравнений
1		11
2		12
3		13
4		14
5		15
6		16
7		17
8		18
9		19
10		20

Задача 2

Исследовать и найти общее решение системы линейных однородных уравнений.

Номер вар.	Система линейных уравнений	Номер вар.	Система линейных уравнений
1		11
2		12
3		13
4		14
5		15
6		16
7		17
8		18
9		19
10		20

Номер вар.	Координаты точки А	Координаты точки В	Координаты точки С	Координаты точки Д
1	(1;2;3)	(-1;3;6)	(-2;4;2)	(0;5;4)
2	(-1;2;0)	(-2;2;4)	(-3;3;0)	(-1;4;2)
3	(2;2;3)	(-1;2;0)	(0;3;3)	(2;4;-5)
4	(0;-1;2)	(-1;-1;6)	(-2;0;2)	(0;1;4)
5	(3;0;2)	(2;0;6)	(1;1;2)	(3;2;4)
6	(0;2;-1)	(-1;2;3)	(-2;3;-1)	(0;4;1)
7	(2;3;2)	(1;3;6)	(0;4;2)	(2;5;4)
8	(1;0;2)	(-2;0;6)	(-3;1;2)	(-1;2;4)
9	(2;0;3)	(1;0;7)	(0;1;3)	(2;2;4)
10	(-2;1;3)	(-1;1;3)	(2;0;2)	(2;0;4)
11	(2;4;-6)	(1;3;5)	(0;-3;8)	(3;2;3)
12	(-2;3;5)	(1;-3;4)	(7;8;-1)	(-1;2;-1)
13	(1;3;5)	(0;2;0)	(5;7;9)	(0;4;8)
14	(3;-5;2)	(4;5;1)	(-3;0;-4)	(-4;5;-6)
15	(4;5;2)	(3;0;1)	(-1;4;2)	(5;7;8)
16	(5;1;0)	(7;0;1)	(2;1;4)	(5;5;3)
17	(4;2;-1)	(3;0;3)	(8;0;4)	(5;-1;-2)
18	(4;-3;-2)	(2;2;3)	(-1;-2;3)	(2;-2;-3)
19	(3;1;1)	(1;4;1)	(1;1;7)	(3;-4;-1)
20	(2;2;0)	(-2;3;-2)	(2;-3;3)	(1;5;5)

Задача 3

Даны координаты вершин треугольника АВС. Составить уравнения сторон треугольника, медианы, высоты и биссектрисы угла А, а также прямых, проходящих через вершины треугольника и параллельных его сторонам. Найти длину высоты, медианы и биссектрисы.

Задача 4

По координатам вершин пирамиды АВСД средствами векторной алгебры найти:

1) длины ребер АВ и АС;

2) угол между ребрами АВ и АС;

3) площадь грани АВС;

4) проекцию вектора АВ и АС;

5) объем пирамиды.

Задача 5

Составить уравнение плоскости Р, проходящей через точку А перпендикулярно вектору

. Написать ее общее уравнение, а также нормальное уравнение плоскости в отрезках. Составить уравнение плоскости , проходящей через точки А, В, С. Найти угол между плоскостями Р и . Найти расстояние от точки Д до плоскости Р.