Высшая математика в задачах и упражнениях (стр. 2 из 20)
3. Контрольные работы должны выполняться самостоятельно. Несамостоятельно выполненная работа не дает возможности преподавателю-рецензенту указать студенту на недостатки в его работе, в усвоении им учебного материала, в результате чего студент не приобретает необходимых знаний и может оказаться неподготовленным к устному зачету или экзамену.
4. Не рекомендуется присылать в институт одновременно работы по нескольким заданиям: это не дает возможности рецензенту своевременно указать студенту на допущенные им ошибки и удлиняет срок рецензирования работ.
5. Прорецензированные контрольные работы вместе со всеми исправлениями и дополнениями, сделанными по требованию рецензента, следует сохранять. Без предъявления прорецензированных контрольных работ студент не допускается к сдаче зачета и экзамена.
6. Распределение контрольных работ по семестрам устанавливается каждым институтом для своих студентов в соответствии с распределением по семестрам материала и сообщается студентам дополнительно.
Лекции, практические занятия и лабораторные работы
Во время экзаменационно-лабораторных сессий для студентов-заочников организуются лекции и практические занятия. Они носят по преимуществу обзорный характер. Их цель - обратить внимание на общую схему построения соответствующего раздела курса, подчеркнуть важнейшие места, указать главные практические приложения теоретического материала, привести факты из истории науки. Кроме того, на этих занятиях могут быть более подробно рассмотрены отдельные вопросы программы, отсутствующие или недостаточно полно освещенные в рекомендуемых пособиях.
Для студентов, имеющих возможность заниматься в группах на учебно-консультационных пунктах, лекции, практические занятия и лабораторные работы проводятся в течение всего учебного года и носят более систематический характер, однако и они призваны оказывать только помощь студенту в его самостоятельной работе.
Зачеты и экзамены
На экзаменах и зачетах выясняется, прежде всего, отчетливое усвоение всех теоретических и практических вопросов программы и умение применять полученные знания к решению практических задач. Определения, теоремы, правила должны формулироваться точно и с пониманием существа дела; решение задач в простейших случаях должно выполняться без ошибок и уверенно; всякая письменная и графическая работа должна быть сделана аккуратно и четко. Только при выполнении этих условий знания; могут быть признаны удовлетворяющими, требованиям, предъявляемым программой.
При подготовке к экзамену учебный материал рекомендуется повторить по учебнику и конспекту.
Литература
1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. - М.: Наука, 1988. - 176 с,
2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление. - М,: Наука, 1988. - 432 с.
3. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. - М.: Наука, 1985. - 448 с.
4. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления, для втузов. - М.: Наука, 1985. - Т. I, 2т
5. Мышкис А.Д. Лекции по высшей математике. - М.: Наука, 1973.
6. Мышкис А.Д. Математика для втузов. Специальные курсы. - М.: Наука, 1971. - 632 с.
7. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. - М.: Наука, 1980. - 320 с.
8. Бугров Я.С. Никольский С.М. Высшая математика. Задачник. - М.: Наука, 1982.
9. Сборник задач по математике для втузов. Линейная алгебра и основы математического анализа/Под ред. А.В. Ефимова и Б.П. Демидовича. - М.: Наука, 1981. - 464 с.
10. Сборник задач по математике для втузов. Специальные разделы математического анализа/Под ред. А.В. Ефимова и Б.П. Демидовича, - М: Наука, 1981. - 368 с.
11. Сборник задач по математике для втузов. Специальные курсы/ Под ред. А.В. Ефимова. - М.: Наука, 1984.
Контрольная работа № 1. Элементы линейной и векторной алгебры
Аналитическая геометрия
Литература: [1], §1-5, 7-13, гл. III, §1-8; [4], т.2, гл. XXI; [5], гл. II, VII, X, XI; [7], гл. I, §1,3, гл. V.
Основные теоретические сведения
1. Матрицей A=[aij] размера m´n называется множество чисел, расположенных в виде таблицы из m строк и n столбцов:
.Матрица размера n´n называется квадратной матрицей n –го порядка. Элементы a11, a22, a33, . . . , ann образуют главную диагональ матрицы.
Квадратная матрица E с элементами
называется единичной матрицей n –го порядка.Две матрицы A и B считаются равными, если они одного размера и их соответствующие элементы равны, т.е.
(1)Суммой матриц A и B одинакового размера m´n называется матрица
C = A + B размера m´n с элементами cij = aij + bij. (2)
Произведением числа a на матрицу B называется матрица С = aB с элементами
cij = abij (3)
Произведением матрицы A=[aik] размера m´p на матрицу B=[bkj] размера p´n называется матрица С = AB = [cij] размера m´n с элементами
(4)(Сумма произведений элементов i –й строки матрицы A на соответствующие элементы j –го столбца матрицы B).
2. Определитель (детерминант) квадратной матрицы n –го порядка – это число D, которое ставится в соответствие матрице и может быть вычислено по её элементам. Обозначается:
.Минором Mij элемента aij определителя n –го порядка называется определитель (n-1) –го порядка, полученный из исходного вычеркиванием i –й строки и j –го столбца.
Алгебраическое дополнение Aij определяется формулой
Aij = (-1)i+jMij(5)
Рекуррентная формула для вычисления определителя n –го порядка имеет вид:
(6)(разложение определителя по элементам i –й строки,
), или 
(7)(разложение определителя по элементам j –го столбца,
).Определитель первого порядка:
.Определитель второго порядка:
.Определитель третьего порядка:
Свойства определителей выучить самостоятельно.
Обратить внимание на следующее свойство:
(8)Матрица A-1 называется обратной для квадратной матрицы
, еслиA-1A = A * A-1 = E. (9)
Элементы
обратной матрицы 
вычисляются по формулам: 
(10)где Aij – алгебраическое дополнение элемента aij матрицы A, a
.Рассмотрим прямоугольную матрицу A размера m´n. Выделим в матрице At произвольных строк и t столбцов, где
.Определитель порядка t, составленный из элементов, стоящих на пересечении выделенных t строк и t столбцов называется определителем, порожденным матрицей A.
Рангом матрицы A называется натуральное число r = RgA равное наибольшему из порядков определителей, отличных от нуля, среди порожденных данной матрицей.
Если RgA = r, то это означает, что:
1) существует хотя бы один определитель порядка r отличный от нуля;
2) все определители порядка больше r (r+1, r+2, …) равны нули.
Ранг матрицы можно найти вычислением порожденных ею определителей или приведением матрицы системы путем эквивалентных преобразований к трапециидальной форме, на главной диагонали которой стоят единицы, а все элементы под ней равны нулю:
Здесь число r единиц, стоящих на главной диагонали равно рангу матрицы.
3. Система m уравнений с n неизвестными x1,x2,…,xnимеет вид:
(11)где aij – коэффициенты системы, bi – свободные члены.
Систему (11) можно записать в матричной форме:
AX = B, где
(12)Если число уравнений равно числу неизвестных (m = n) и определитель системы отличен от нуля
, то решение системы в матричной форме имеет вид:X = A-1B (13)
В этом случае решение системы можно найти по формулам Крамера:
(14)где
- определители n –го порядка, получаемые из определителя 
заменой i –го столбца столбцом свободных членов.