Высшая математика в задачах и упражнениях (стр. 3 из 20)
Рассмотрим систему линейных уравнений (12). Введем расширенную матрицу системы Aр – получаемую из матрицы A присоединением столбца свободных членов:
(15)Исследование системы линейных уравнений осуществляется с помощью теоремы Кронекера-Капелли: для того, чтобы система линейных уравнений была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг её матрицы A был равен рангу расширенной матрицы Aр, т.е. RgA = RgAр = r. При этом:
1) если r = n (ранг равен числу неизвестных), то система имеет единственное решение, которое можно найти по формулам Крамера;
2) если r < n, то система имеет бесконечное множество решений. Свободные (n – r) неизвестных выбираются произвольно, а главные r неизвестных определяются единственным образом через свободные неизвестные.
Если b1 = b2 = … = bm = 0, т.е. B = 0, то система (12) называется однородной и принимает вид AX = 0. Однородная система уравнений всегда совместна.
Для решения систем линейных уравнений с большим числом неизвестных и уравнений выгодно использовать метод Гаусса, который заключается в последовательном исключении неизвестных. Существует много вариантов этого метода. Рассмотрим схему с выбором главного элемента. Пусть исходная система имеет вид:
(16)Положим, что
, и разделим обе части первого уравнения системы на a11 
(17)здесь
С помощью уравнения (17) исключим во всех уравнениях системы (16), начиная со второго, слагаемые, содержащие x1. Для этого будем умножать обе части уравнения (17) последовательно на a21, a31, …, an1 и вычитать соответственно из второго, третьего и т.д. из n –го уравнения системы (16). В результате получаем систему, порядок которой на единицу меньше порядка исходной системы:
Здесь
С полученной системой проделываем аналогичные преобразования. После n –кратного повторения этого преобразования можно записать систему с треугольной матрицей:
(18)которая эквивалентна системе (16) и легко решается. В самом деле, из последнего уравнения находим xn; подставляя xn в предпоследнее уравнение, находим xn-1, затем xn-2и т.д. вплоть до x1, которое находится из первого уравнения системы, когда уже известны xn, xn-1, xn-2,…, x1.
Таким образом, вычисления по методу Гаусса распадаются на два этапа: на первом этапе, называемом прямым ходом метода, исходная система преобразуется к треугольному виду (18). На втором этапе, называемом обратным ходом, решается треугольная система (18), эквивалентная исходной системе.
Коэффициенты
называются ведущими элементами метода Гаусса. На каждом шаге предполагалось, что 
Если окажется, что это не так, то в качестве ведущего элемента можно использовать любой другой ненулевой коэффициент системы.4. Вектор-столбец
называется собственным вектором квадратной матрицы An-го порядка, соответствующим собственному значению l, если он удовлетворяет матричному уравнению:
.Здесь E – единичная матрица n-го порядка, a0 – нулевой вектор-столбец. При условии, что вектор
, получаем характеристическое уравнение для определения собственных значений 
: 
(19)Координаты собственного вектора Xi, соответствующие собственному значению
, является решением системы уравнений:
(20)Собственный вектор определяется с точностью до постоянного множителя.
5. Скалярным произведением двух векторов
и 
называется число, определяемое равенствами: 
(21)где
– угол между векторами 
и 
.Из (21) для скалярного квадрата имеем:
или 
(22)С помощью скалярного произведения можно найти:
- проекцию вектора
(23)угол между двумя векторами
(24)- работу силы
на перемещении 
(25)Условие перпендикулярности ненулевых векторов имеет вид:
или 
(26)а условие их коллинеарности:
или 
(27)6. Векторным произведением вектора
на вектор 
называется вектор 
, который:а) имеет длину
, где 
– угол между векторами и ;б) перпендикулярен к каждому из векторов
и ;в) направлен так, что вектора
, , 
образуют правую тройку (рис. 1). 
(28) 
Рисунок 1
Геометрически 
равен площади параллелограмма OADB построенного на векторах и :
S = 
.(29)
Площадь треугольника OAB:SD =
S = 
7. Смешанное произведение трех векторов
есть число равное:
(30)Объем параллелепипеда, построенного на векторах
, и , равен модулю смешанного произведения