Высшая математика в задачах и упражнениях (стр. 4 из 20)
(31)Условие компланарности трех ненулевых векторов
, 
, 
имеет вид:
(32)8. Общее уравнение прямой на плоскости имеет вид:
(33)где
- нормальный вектор прямой, т.е. вектор 
перпендикулярен прямой, а коэффициент С пропорционален расстоянию pот начала координат до прямой: С ∼p.Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид:
(34)Здесь угловой коэффициент
, где 
угол между осью Ox и прямой; b – начальная ордината, т.е. ордината точки пересечения прямой с осью Oy.Уравнение прямой, проходящей через данную точку
, имеет вид: 
, (35)Или
. (36)Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки
и 
, имеет вид:
(37)Угол между двумя прямыми
и 
определяется формулой: 
(38)Расстояние от точки
до прямой находится по формуле 
(39)9. Общее уравнение плоскости P имеет вид:
(40)где
- нормальный вектор плоскости, т.е. вектор перпендикулярный плоскости, коэффициент D пропорционален расстоянию p/0от начала координат до плоскости.Уравнение плоскости, проходящей через данною точку
перпендикулярно данному вектору 
имеет вид: 
(41)Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки
, 
и 
имеет вид: 
(42)Угол между двумя плоскостями, имеющими нормальные векторы
и 
, определяется как угол между 
и 
; косинус этого угла находится по формуле: 
(43)Расстояние от точки
до плоскости 
определяется формулой: 
(44)10. Прямая в пространстве lопределяется как линия пересечения плоскостей P1и P2:
(45)Уравнения (45) называется общими уравнениями прямой в пространстве.
Канонические уравнения прямой в пространстве имеют вид:
(46)Здесь
- точка, через которую проходит прямая, а вектор 
называется направляющим вектором прямой.Чтобы привести общие уравнения прямой к каноническому виду, надо координаты точки M1 найти из системы (45), полагая, например, Z1=0, а направляющий вектор:
(47)где
и нормальные векторы плоскостей P1 и P2.Уравнения прямой в пространстве, проходящей через две заданные точки
и имеют вид: 
(48)Угол между двумя прямыми, имеющими направляющие векторы
и 
, определяется как угол между 
и 
, косинус которого находится по формуле: 
. (49)Пример 1. Доказать совместность системы и решить её тремя способами: по формулам Крамера, методом Гаусса и средствами матричного исчисления
Решение. Вычислим определитель системы:
Так как
, то система имеет единственное решение, которое найдем по формулам Крамера (14). Для этого найдем 
, 
, 
Подставляя найденные значения определителей в формулы (14), получим искомое решение системы:
Решим систему методом Гаусса. Выпишем расширенную матрицу системы:
.Поменяем местами 1-ю и 3-ю строки:
.Умножим 1-ю строку на –1 и –2 и сложим, соответственно, со 2-й и 3-й строкой:
.Умножим 3-ю строку на –1 и поменяем местами со 2-й строкой:
.Умножим элементы 2-й строки на 3 и сложим с соответствующими элементами 3-й строки:
.Разделим элементы 3-й строки на 26:
.Система примет вид:
Отсюда все неизвестные определяются последовательно без труда:
Решим систему матричным методом. Здесь
, 
, 
.Так как определитель матрицы отличен от нуля
, то матрица А имеет обратную. Для нахождения обратной матрицы А-1 вычислим алгебраические дополнения элементов матрицы А: 
Согласно формуле (10), матрица А-1, обратная к А, имеет вид
.Проверим правильность вычисления А-1 исходя из определения обратной матрицы (9) и используя формулу (4):