Высшая математика в задачах и упражнениях (стр. 7 из 20)

, . (7)

Комплексные числа изображаются точками на комплексной плоскости (Рисунок 3).

Рисунок 3

Извлечение корня n – й степени (n – натуральное число) из числа

производится по формуле

, (8)

где

- арифметический корень модуля z, а

.

Пример 1. Найти полярные координаты точки

(Рисунок 4).

Рисунок 4

Решение. Используя формулы (1), находим полярный радиус и полярный угол точки M:

, , , так как точка M лежит в IV четверти.

Пример 2. Построить по точкам график функции

в полярной системе координат. Найти уравнение полученной кривой в прямоугольной системе координат, начало которой совмещено с полюсом, а положительная полуось Ox – с полярной осью. Определить вид кривой.

Решение. Так как полярный радиус не отрицателен, т.е.

, то , откуда ; значит вся кривая расположена в верхней полуплоскости. Составим вспомогательную таблицу:

Номера точек	1	2	3	4	5	6	7	8	9
	0	/8	/4	3 /8	/2	5 /8	3 /4	7 /8
	0	0.38	0.71	0.92	1	0.92	0.71	0.38	0
	0	0.76	1.24	1.84	2	1.84	1.42	0.76	0

Для построения кривой на луче, проведенном из полюса под углом

, откладываем соответствующее значение полярного радиуса и соединяем полученные точки (Рисунок 5).

Рисунок 5

Найдем уравнение кривой

в прямоугольной системе координат. Для этого заменим и их выражениями через x и y по формулам (1):

, .

Окончательно имеем

, т.е. уравнение выражает окружность с центром в точке (0; 1) и единичным радиусом.

Пример 3. Найти

.

Решение. Подставляя вместо x его предельное значение, равное 3, получаем в числителе бесконечно большую, а в знаменателе – бесконечно малую функцию:

, .

Поэтому

.

Пример 4. Найти

.

Решение. Подстановка предельного значения аргумента приводит к неопределенности вида

. Так как под знаком предела стоит отношение двух многочленов, то разделим числитель и знаменатель на старшую степень аргумента, т.е. на . В результате получим

,

поскольку при

функции и являются бесконечно малыми.

Пример 5. Найти

.

Решение. Для раскрытия получающейся здесь неопределенности вида

используем метод замены бесконечно малых эквивалентными. Так как при , , то на основании формулы (2) находим

.

Пример 6. Найти

.

Решение. Подстановка

приводит к неопределенности . Сделаем замену переменных: , . Тогда

.

Пример 7. Исследовать функцию

на непрерывность; найти точки разрыва функции и определить их тип. Построить схематический график функции.

Решение. Так как данная функция определена по всей числовой оси, то “подозрительными на разрыв” являются те точки, в которых изменяется аналитическое выражение функции, т.е. точки

и . Вычислим односторонние пределы в этих точках.

Для точки

имеем:

;

.

Односторонние пределы функции в точке

существуют, но не равны между собой. Следовательно, эта точка является точкой разрыва первого рода.

Для точки

получаем:

; .

Односторонние пределы функции при

равны между собой и равны частному значению функции . Следовательно, исследуемая точка является точкой непрерывности.

График данной функции приведен на Рисунке 6.

Рисунок 6

Пример 8. Изобразить на комплексной плоскости числа:

1)

;

2)

.

Записать число

в тригонометрической, а число - в алгебраической форме.

Решение.

1) Для числа

имеем , . Откладывая по оси Ox ? А по оси Oy , получаем точку комплексной плоскости, соответствующую числу (Рисунок 7). Модуль этого числа находим по формуле (7): . Аргумент определяем из равенства . Так как число находиться в левой полуплоскости, то его аргумент . Тригонометрическая форма числа имеет вид .