Высшая математика в задачах и упражнениях (стр. 9 из 20)
4. Точка
называется точкой перегиба кривой 
, если при переходе через точку меняется направление выпуклости. Необходимое условие точки перегиба: если - точка перегиба кривой , то вторая производная 
либо равна нулю или бесконечности, либо не существует. Достаточное условие точки перегиба: является точкой перегиба кривой , если при переходе через точку вторая производная 
меняет знак.5. Прямая
называется наклонной асимптотой кривой , если расстояние от точки 
кривой до этой прямой стремится к нулю при 
. При этом 
, 
(6)При
имеем горизонтальную асимптоту: 
.Если
или 
(7)то прямая
называется вертикальной асимптотой.6. Общая схема исследования функции и построения её графика:
I. Элементарное исследование:
1. Найти область определения функции;
2. Исследовать функцию на симметричность и периодичность;
3. Вычислить предельные значения функции в её граничных точках;
4. Выяснить существование асимптот;
5. Определить, если это не вызовет особых затруднений, точки пересечения графика функции и координатными осями;
6. Сделать эскиз графика функции, используя полученные результаты.
II. Исследование графика функции по первой производной:
1. Найти решение уравнения
и 
;2. Точки, «подозрительные» на экстремум, исследовать с помощью достаточного условия экстремума, определить вид экстремума;
3. Вычислить значения функции в точках экстремума;
4. Найти интервалы монотонности функции;
5. Нанести на эскиз графика экстремальные точки;
6. Уточнить вид графика функции согласно полученным результатам.
III. Исследование графика функции по второй производной:
1. Найти решение уравнения
и 
;2. Точки, «подозрительные» на перегиб, исследовать с помощью достаточного условия;
3. Вычислить значения функции в точках перегиба;
4. Найти интервалы выпуклости и вогнутости графика функции;
5. Нанести на эскиз графика точки перегиба;
6. Окончательно построить график функции.
Если исследование проведено без ошибок, то результаты всех этапов должны согласовываться друг с другом. Если же согласование отсутствует, необходимо проверить правильность результатов отдельных этапов и исправить ошибки.
7. Частной производной первого порядка функции нескольких переменных
по аргументу 
называется предел 
(8)(приращение получает только один аргумент
). Обозначение: 
, 
.Отыскание частной производной сводится к дифференцированию функции одной переменой
, полученной при фиксировании аргументов 
и 
: 
, 
.8. Скалярным полем
называется скалярная функция точки 
вместе с областью её определения.Уравнение
(или 
) (9)определяет семейство поверхностей (или линий) уровня, на которых скалярное поле принимает одно в то же значение
.Скалярное поле
характеризуется градиентом
(10)в производной по направлению
равной скалярному произведению 
и единичного вектора 
направления 
: 
. (11)Пример 1. Составить уравнение касательной и нормали к кривой
в точке, абсцисса которой 
.Решение. Найдем ординату точки касания:
. Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке : 
.Подставляя значения
, 
и 
в уравнения касательной 
и нормали 
,получаем:
, 
(касательная); 
, 
(нормаль).Пример 2. Используя правило Лопиталя вычислить предел функции:
1)
;2)
Решение. Подстановка предельного значения аргумента
приводит к неопределенности вида 
. Раскроем ее с помощью правила Лопиталя (5): 
;Однократное применение правила Лопиталя не приводит к раскрытию неопределенности (по-прежнему получаем
), поэтому применим его ещё раз: 
;Таким образом, в результате двукратного применения правила Лопиталя находим, что искомый предел равен 5.
2) Убедившись, что имеет место неопределенность вида
, применим правило Лопиталя: 
Пример 3. Исследовать на экстремум функцию
.