Неопределенные бинарные квадратичные формы (стр. 2 из 7)

Рассмотрим теперь вкратце теорию приведения неопределенных бинарных квадратичных форм. Суть этой теории состоит в выделении в каждом классе так называемых приведенных форм — «стандартных» форм класса. Рассматривая квадратичные формы положительного дискриминанта, будем считать ее коэффициенты произвольными вещественными числами. Кроме того, будем предполагать, что крайние коэффициенты

и формы отличны от нуля и корни уравнения вещественны, различны и иррациональны.

Назовем корень

этого уравнения первым, а — вторым корнем формы (см. [1]), причем есть дискриминант формы .

Определение 7. Неопределенная квадратичная форма

с корнями называется приведенной, если .

Покажем, что у приведенной формы

выполняются неравенства , , причем и заключаются между и . В самом деле, из условия получаем

,

, ,

Далее,

, , т.е. выполняется указанное неравенство . Обратимся теперь к условиям:

и . Из них следуют

, (*)

Аналогично имеем

, (**)

Покажем теперь, что

. Допустим, что . Тогда из неравенств (*) и (**) следуют

и

Но последние два неравенства не могут одновременно выполняться. Значит, наше допущение, что

неверно, и мы получаем неравенства . Наконец, покажем, что

и

Т.к.

, то из неравенств (*) и (**) получаем . С учетом этих неравенств и равенства , мы получим и неравенства для .

Обратно, система неравенств

или

характеризует приведенность неопределенной формы

. Поэтому определению приведенной формы можно придать следующий вид.

Определение 8. Бинарная квадратичная форма

дискриминанта называется приведенной, если

или

Без доказательства приведем следующее свойство приведенных форм.

Предложение 4. Каждая форма дискриминанта

собственно эквивалентна некоторой приведенной форме.

Доказательство см. [1,2]. В [1] используется аппарат непрерывной дроби, а в [2] понятие соседней формы.

Определение 9. Целочисленная квадратичная форма

называется собственно примитивной, если наибольший общий делитель ее коэффициентов равен , т.е

НОД

и несобственно примитивной, если

НОД

. В остальных случаях форма называется непримитивной.

Определение 10. Пусть

— наибольший общий делитель чисел для формы определителя . Множество бинарных квадратичных форм с одними и теми же и (при ) с одним и тем же знаком крайних коэффициентов называется порядком форм.

Так как

и знаки получающихся коэффициентов при не меняются при переходе от данной формы к эквивалентной ей форме, то порядок состоит из нескольких классов.

При

формы и порядок называются собственно примитивными, а при и ( ) — несобственно примитивными. Собственно и классы форм называются собственно примитивными и несобственно примитивными.

Возникает вопрос: конечно или бесконечно число целочисленных приведенных неопределенных форм. Ответ дает следующее.

Предложение 5. Число всех целочисленных приведенных неопределенных форм с заданным дискриминантом конечно.

Доказательство см. [2,п.185]

О периодах неопределенных бинарных квадратичных уравнений

Теория неопределенных бинарных квадратичных форм существенно отличается от теории определенных форм наличием периодов приведенных форм. Гаусс первым обнаружил это явление и глубоко вник в природу приведенных форм с положительным неквадратным дискриминантом в связи с решением основных задач этой теории (см. [1,2]). В этом параграфе мы дадим основные свойства периодов неопределенных форм.

Нашему изложению мы сначала предпошлем те основные понятия из гауссовой теории квадратичных форм, которые нам понадобятся в дальнейшем (см. [1,2]).

Определение 1. формой соседней справа к целочисленной форме

называется форма , которая получается из формы подстановкой , где — некоторое целое число.