Неопределенные бинарные квадратичные формы (стр. 3 из 7)

Заметим, что при такой подстановке форма

собственно эквивалентна форме . Зависимость между соседними формами и можно охарактеризовать так: во-первых, формы и имеют одинаковый дискриминант; во-вторых, последний коэффициент формы является вместе с тем первым коэффициентом формы ; в третьих, сумма их средних коэффициентов делится на .

Аналогичным образом определяется соседняя слева форма

к форме .

Из определения соседних форм непосредственно следует предложение 1: соседние формы собственно эквивалентны.

С помощью процесса нахождения последовательных соседних форм мы придем к другому важному понятию периода приведенных форм. Именно, пусть

— приведенная форма дискриминанта , и для нее является соседней справа; для форма является соседней справа; для форма является соседней справа и т.д. Тогда все формы , , ,…, являются собственно эквивалентными между собой, так и форме .

Так как в силу предложения 5 §1 число всех целочисленных приведенных неопределенных бинарных квадратичных форм с заданным дискриминантом конечно, то в бесконечном ряду форм

, , , ,… не все формы могут быть различными между собой. Если предположить, что и совпадают, то формы и будут приведенными соседними слева для одной и той же приведенной формы и потому будут совпадать. Поэтому и и т.д. будут совпадать. Следовательно, в ряду , , ,… обязательно повторится первая форма и если — первая форма в этом ряду, совпадающая с , то все формы , , , ,…, различны между собой.

Определение 2. Совокупность различных последовательных соседних приведенных неопределенных форм

, , ,…, называется периодом формы .

Приведем несколько общих замечаний об этих периодах, следующих из их определения (см. [2]).

Предложение 2. Если формы

, , ,… представлены следующим образом

, , ,…, , , ,…, то все величины будут иметь одинаковые знаки, причем все будут положительны.

Отсюда получается следующее свойство периодов.

Предложение 3. Количество квадратичных форм, из которых состоит период заданной формы

, всегда четно.

Доказательство предложения 3 см. [1,2].

Заметим, что каждая форма

, которая содержится в периоде формы , будет иметь тот же период, что и .Именно, этот период будет таков:

Отсюда получается следующее свойство периодов.

Предложение 4. Все целочисленные неопределенные бинарные квадратичные формы с одинаковым дискриминантом могут быть разбиты на периоды.

Доказательство (см. [2] разд. V , п.187) основано на том их свойстве, что периоды либо совпадают, либо они попарно не пересекаются, и каждая форма попадет только в один из периодов.

Пример. Все приведенные неопределенные формы с дискриминантом

разбиваются на следующие шесть периодов:

I.

;

II.

;

III.

;

IV.

;

V.

;

VI .

Видим, что в каждом периоде содержится четное число приведенных форм: в периодах I и II по четыре формы, а в остальных периодах по шесть форм.

Особы интерес представляют так называемые обратные и двусторонние формы, показывающие наряду с гауссовой композицией форм глубокий смысл различия собственной и несобственной эквивалентностью целочисленных бинарных квадратичных форм.

Определение 3. Формы

и , и их классы называются обратными: если — один из этих классов, то другой класс будет обратным к классу в смысле композиции классов.

Замечание. Так как форма

переводится в форму подстановкой определителя , то каждая форма класса несобственно эквивалентна каждой форме из обратного класса , и обратно, при несобственной эквивалентности двух форм, их классы будут обратными. (При этом еще учитывается, что если форма несобственно эквивалентна , а собственно эквивалентна , то несобственно эквивалентна ).