Неопределенные бинарные квадратичные формы (стр. 5 из 7)

Теорема 2 доказана.

Пример. Для

следующие четыре периода по две соседние двусторонние формы.

,

,

,

,

При этом эти формы удовлетворяют теореме 2, т.к.

.

Замечание. Из полученной теоремы следует, что приведенные двусторонние формы будут соседними в очень малом числе случаев, и в большинстве случаев они не будут соседними. Вопрос о точном числе случаев, когда приведенные двусторонние формы будут соседними, по-видимому, является очень трудным, и мы его не рассматриваем.

Об оценке сверху числа приведенных неопределенных бинарных квадратичных форм

О числе приведенных неопределенных бинарных квадратичных форм, так и о числе классов неопределенных квадратичных форм, известно очень мало. Для числа классов бинарных квадратичных форм имеется точная формула Дирихле. Другим важным результатом являются неравенства, принадлежащие немецкому математику Зигелю.

,

где

— число приведенных неопределенных бинарных квадратичных форм дискриминанта ; и — положительные постоянные, зависящие от ; причем — любое фиксированное положительное число. Наша цель состоит в том, чтобы элементарным способом доказать верхнюю оценку в неравенствах Зигеля для . Приводимое доказательство будет опираться на некоторые свойства функции числа положительных делителей натурального числа, и мы их приведем вначале.

Арифметическая функция

определяется как число положительных делителей натурального числа .

Предложение 1. Функция

мультипликативна, т.е. , если .

Из этого предложения 1 легко выводится следующее.

Предложение 2. Если

— каноническое разложение натурального числа , то

Доказательства предложений 1 и 2 приводятся во всех учебниках по теории чисел (напр. см. [4,6]).

Предложение 3. Для числа

делителя натурального числа имеет место неравенство

Доказательство. Пусть

и — канонические разложения чисел и , и пусть

, ,…, — все простые делители наибольшего общего делителя чисел и . Тогда ясно, что

. (1)

Но так как справедливо неравенство

, (2)

то неравенство (1) с учетом (2) и предложения 2 перейдет в следующие соотношения:

Предложение 3 доказано.

Предложение 4. Для

имеет место неравенство

,

где

—произвольное положительное число, —постоянная, зависящая только от .

Доказательство. Мы следуем рассуждениям в [4,5] (доказательство имеется также в [3]). Пусть

— каноническое разложение числа . Тогда имеем:

Рассмотрим отношение

, в случаях и .

Если

, то , так как .

Если

, то считая , получим:

Поэтому

Следовательно, полагая

, получим неравенство

Предложение 4 доказано.

Следующее предложение характеризует среднее значение

в нужной для нас форме

Предложение 5. Для

имеет место следующая оценка сверху:

,

где

— постоянная

Доказательство. Имеем:

Последняя сумма геометрически представляет собой число целых точек в первой четверти, лежащих на или под гиперболой

, при этом целые точки, лежащие на осях координат, исключаются, так как для них . Поэтому исследуемую сумму можно записать в виде:

, где — целая часть числа

Оцениваем теперь сумму:

,

где

Здесь мы воспользовались следующим соотношением из математического анализа

,