Методы оптимизации при решении уравнений (стр. 2 из 2)
Из (3) находим:
(5)Подставим (5) в (4)
(6)Представим функцию Беллмана в виде квадратичной формы
(7)причем это должна быть положительно определенная квадратичная форма, а значит
(8)т.е. матрица должна быть положительно определённой.
Вычисляя выражения:
(9)подставим их в (6) и обратим коэффициенты при
, 
и 
в ноль, т.к. справа у нас ноль: 
Отсюда:
(10)
(11) 
(12)Если
, то 
Þ S < 0, что нельзя допустить. Тогда: 
а следовательно а12 и а22 должны быть одного знака, так как а11 > 0.
Тогда а12 = 1/2, а22 = 1, а11 = 1. Таким образом, решение имеет вид (из (5) и (9)):
Задача 5
Используя принцип максимума Понтрягина найти оптимальное управление для линейной системы
в задаче:
| А | В | t0 | tf | х0 | xf | |u| |
| 0 1 00 0 10 0 0 | 001 | 0 | 1 | 000 | x1®max00 | £1 |
Решение:
Формируем задачу по исходным данным:
(4)Составим функцию Гамильтона
Уравнения Эйлера-Лагранжа имеет вид:
(5) 
(6) 
(7)Поскольку
– подвижна, то используем условие трансверсальности: 
Но из (5) видно, что y1 = С1Þ С1 = 1. Тогда из (7) видно, что y3 = t2/2-C2t+C3, - то есть это квадратичная парабола ветвями вверх, которая может дважды пересечь уровень y3 = 0 и возможных порядок следования интервалов знакопостоянства следующий: +, -, +.
Из принципа максимума следует:
,а следовательно:
Тогда, поскольку y3 меняет знак дважды, (пусть в моменты t1 и t2) можем записать
(8)Подставим
в (3) и получим, проинтегрировав уравнение (3)
(9)Используя начальные и конечные условия для х3 и условия непрерывности
в t1 и t2 получим: 
(10)Подставим (9) и константы из (10) в (2) и проинтегрируем. Получим:
(11)Используя начальные и конечные условия для х2 и условия непрерывности в t1 и t2, получим:
Используем непрерывность
при 
и 
:
Собрав уравнения (10) и полученное уравнение составим систему уравнений:
(12-14)Подставив (12) в (13), получим уравнение
.Подставим (13) в полученное уравнение (вместо
): 
Тогда t1 из (12) равно
и, наконец,
Подставим (11), с учетом найденных констант в (1):
(15)Исходя из начального условия и условия непрерывности получим:
Таким образом: моменты переключения: t1=1/4, t2=3/4, а
заданы уравнениями(15), (11), (9) и (8) с известными константами.Задание №6
Установить управляемость и наблюдаемость линейной системы:
где
.Решение:
Для оценки управляемости составим матрицу управляемости (учтем, что n=3);
Y = (B, AB, A2B):
Таким образом
Взяв минор из 1,2 и 3 столбцов можно видеть, что
.Следовательно, rang(Y)=3=n и система вполне управляема.
Для оценки наблюдаемости системы составим матрицу наблюдаемости (n=3):
H=(CT, ATCT, (AT)2 CT);
.Таким образом
Взяв минор из 1, 2 и 3 столбцов можно видеть, что
Таким образом rang(H) = 3 = n, а следовательно система вполне наблюдаема.
Задание №7
Для линейной системы
и квадратичного критерия 
выполнить синтез оптимального управления с обратной связью
| A | B | Q | R |
| 0 11 0 | 10 | 1 00 0 | 1 |
Решение: Требуется выполнить синтез стационарного регулятора. Для этого воспользоваться алгебраическим матричным уравнением Риккати:
где
,причем матрица l>0 (положительно определена).
Сравнивая коэффициенты матрицы слева и справа, стоящих на одинаковых местах получим систему уравнений:
Решая систему уравнений с учетом положительной определенности матрицы l, получим:
Тогда для уравнения, которое имеет вид
получим:
