Матричный анализ (стр. 2 из 5)
.Пусть f(x) – функция, определенная на спектре матрицы А и значениями этой функции на спектре будут
. Надо построить 
.Построим:
.Обратим внимание, что
. 
Пример: Построить интерполяционный многочлен Лагранжа-Сильвестра для матрицы 
.
Построим базисные многочлены:
Тогда для функции f(x), определенной на спектре матрицы А, мы получим:
.
Возьмем 
, тогда интерполяционный многочлен
.
Случай № 2.
Характеристический многочлен матрицы А имеет кратные корни, но минимальный многочлен этой матрицы является делителем характеристического многочлена и имеет только простые корни, т.е.
. В этом случае интерполяционный многочлен строится так же как и в предыдущем случае.Случай № 3.
Рассмотрим общий случай. Пусть минимальный многочлен имеет вид:
,где m1+m2+…+ms=m, deg r(x)<m.
Составим дробно-рациональную функцию:
и разложим ее на простейшие дроби. 
Обозначим:
. Умножим (*) на 
и получим 
где
– некоторая функция, не обращающаяся в бесконечность при 
.Если в (**) положить
, получим: 
Для того, чтобы найти ak3надо (**) продифференцировать дважды и т.д. Таким образом, коэффициент akiопределяется однозначно.
После нахождения всех коэффициентов вернемся к (*), умножим на m(x) и получим интерполяционный многочлен r(x), т.е.
.Пример: Найти f(A), если 
, где t – некоторый параметр,
.
Найдем минимальный многочлен матрицы А:
.
Проверим, определена ли функция на спектре матрицы А
Умножим (*) на (х-3)
при х=3
Þ 
Умножим (*) на (х-5)
.
Таким образом, 
- интерполяционный многочлен.
Пример 2.
Если 
, то доказать, что 
Найдем минимальный многочлен матрицы А:
- характеристический многочлен.
d2(x)=1, тогда минимальный многочлен
.
Рассмотрим f(x)=sin x на спектре матрицы:
Þ функция является определенной на спектре.
Умножим (*) на 
Þ 
.
Умножим (*) на 
:
.
Вычислим g, взяв производную (**):
. Полагая 
,
, т.е. 
.
Итак, 
,
,
,
.
ЧТД.
Пример 3.
Пусть f(x) определена на спектре матрицы, минимальный многочлен которой имеет вид 
. Найти интерполяционный многочлен r(x) для функции f(x).
Решение: По условию f(x) определена на спектре матрицы А Þf(1), f’(1), f(2), f ‘(2), f ‘’ (2) определены.
.
.
Используем метод неопределенных коэффициентов:
Если f(x)=ln x
f(1)=0 f’(1)=1
f(2)=ln 2 f’(2)=0.5 f’’(2)=-0.25
4. Простые матрицы.
Пусть матрица
, так как С алгебраически замкнутое поле, то характеристический многочлен 
, где 
, ki – алгебраическая кратность корня 
.Обозначим множество векторов удовлетворяющих собственному значению
- подпространство, 
, где r – ранг матрицы 
.