Матричный анализ (стр. 3 из 5)

Теорема. Если квадратная матрица А имеет собственное значение

, а матрица имеет , то имеет кратность .

DF. Размерность

называется геометрической кратностью собственного значения .

В свете этого определения теорема переформулируется следующим образом:

Теорема. Алгебраическая кратность собственного значения не меньше его геометрической кратности.

DF. Матрица

называется простой, если аглебраическая кратность каждого ее собственного значения совпадает с его геометрической кратностью.

Из линейной алгебры следует, что матрица

простая тогда и только тогда, когда .

Если матрица А простая, тогда существует n линейно независимых собственных векторов x₁, x₂, …,x_n таких, что

, для . Запишем это равенство в матричном виде:

, т.е. А – простая тогда и только тогда, когда и .

Замечание. Обратим внимание на то, что собственные значения А и А’ совпадают. Действительно, собственные значения для А’ это значения

. Таким образом характеристические многочлены матриц совпадают. Размерность , тогда . Поэтому, если - собственное значение матрицы А, то и является собственным значением матрицы А’, т.е. существует , что (*) или . Транспонируем (*) и получим (транспонируем это равенство). В этом случае называют левым собственным вектором матрицы А. Соответственно, - называют правым собственным подпространством, - называют левым собственным подпространством.

Рассмотрим следующую конструкцию: если матрица А простая, то существует n линейно независимых собственных векторов x₁, x₂, …, x_n и существует n линейно независимых собственных векторов y₁, y₂,…,y_n, где x₁, x₂, …, x_n такие, что

, (1); y₁, y₂,…,y_n такие, что (2), .

Запишем равенство (1) в виде

(3) Þ что, если А – простая, то существуют матрицы X и Y, что или (**).

DF. Множества векторов x₁, x₂, …, x_n и y₁, y₂,…,y_n удовлетворяющие условию

, т.е. называются квазиортогональными.

Учитывая равенство (**) и определение делаем вывод: множества левых и правых собственных векторов простой матрицы А квазиортогональны и

.

Очень важной для матриц является следующая теорема:

СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА. Если А – простая матрица порядка n над полем С и p(x) многочлен из кольца C[x], и x₁, x₂, …, x_n и y₁, y₂,…,y_n – множества правых и левых собственных векторов матрицы А, то

, а сопутствующая матрица , где .

Следствие. Сопутствующие матрицы обладают следующими свойства:

1.

2.

3.

Пример. Показать, что матрица

простая. Найти сопутствующие матрицы для матрицы А и использовать их для А²⁰, p(x)=x²⁰.

Решение:

Þ

существуют 2 линейно независимые правые и левые системы собственных векторов.

Найдем правые собственные векторы:

Найдем левые собственные векторы:

Найдем сопутствующие матрицы:

.

5.Спектральное разложение функции f(A).

Спектральное разложение для f(A) имеет важное значение и очевидно тесно примыкает к спектральной теореме для простых матриц.

Пусть дана матрица

и пусть , .

Теорема. Если

, а функция f(x) определена на спектре матрицы А и - значение j-й производной от f(x) в собственном значении , где , , то существуют такие независимые от f(x) матрицы , что (1) , при чем коммутирует с матрицей А и образуют линейно независимую систему в пространстве

Доказательство:заметим, что

и , где - базисные многочлены, принимающие одинаковые значения на спектре матрицы А, (3). Сравнивая (1) и (2) и учитывая (3) получим, что . Матрицы называются компонентами матрицы А или компонентными матрицами.