Матричный анализ (стр. 5 из 5)
Интересно, что явление приводимости не связано с величиной матрицы, а зависит лишь от расположения нулевых элементов в матрице.
В связи с этим, используют идею направленного графа матрицы, которую можно взять в качестве характеризации неприводимости матрицы. Наметим первые шаги тоерии и получим вторую характеризацию неприводимости матриц.
DF. Пусть р1, р2, …, рn– n различных точек комплексной плоскости и
. Для каждого нулевого элемента матрицы А 
составим направленную линию от рi к рj 
. Получающаяся в результате фигура на комплексной плоскости называется направленным графом матрицы.  |
Например:
DF. Говорят, что любой направленный граф связен, если для каждой пары точек
существует направленный путь 
.Легко доказать, что квадратная матрица неприводима тогда и только тогда, когда ее граф является связным.
8.Теорема Фробениуса-Перона.
Очевидно, что если
, то для 
. Более того, мы покажем, что для достаточно больших p 
.Лемма № 1. Если матрица
неотрицательна и неприводима, то 
.Доказательство:
Если взять произвольный вектор
и , то 
. И пусть вектор 
имеет место, очевидно, что Z имеет по крайней мере столько же нулевых положительных элементов, что и y. В самом деле, если предположить, что Z имеет меньше нулевых компонент, то обозначим 
, тогда 
и разбив матрицу А на блоки следующим образом 
мы будем иметь 
.Учитывая, что
, то 
, тогда получаем, что 
, что противоречит неприводимости матрицы.Для следующего вектора повторим рассуждения и т.д. В итоге получим, что для некоторого ненулевого вектора y
.ЧТД.
Для ненулевой неприводимой матрицы А рассмотрим действительную функцию r(x), определенную для ненулевых векторов
следующим образом: 
, (Ax)i – i-я координата вектора Ах. 
. Из определения следует, что 
и кроме того, r(x) –такое наименьшее значение 
, что 
.Очевидно, что r(x) инвариантна относительна замены x на
, поэтому в дальнейшем можно рассматривать замкнутое множество 
, такое 
.Однако, r(x) может иметь разрывы в точках, где координата x обращается в 0, поэтому рассмотрим множество векторов
и обозначим 
. По лемме № 1 каждый вектор из N будет положительным, а поэтому 
т.е. 
для 
.Обозначим через
наибольшее число, для которого 
, 
. – спектральный радиус матрицы А. Если 
Можно показать, что существует вектор y, что 
.Замечание. Могут существовать и другие векторы в L для которых r(x) принимает значение r, поэтому любой такой вектор называется экстремальным для матрицы А (Az=rz).
Интерес к числу r объясняется следующим результатом.
Лемма № 2. Если матрица
неотрицательна и неприводима, то число 
является собственным значением матрицы А, кроме того каждый экстремальный вектор для А положителен и является правым собственным вектором для А, отвечающим собственному значению r.Основным результатом является теорема Фробениуса-Перона для непрерывных матриц.
Теорема Фробениуса-Перона. Если матрица
неотрицательна и неприводима, то:1. А имеет положительное собственное значение, равное спектральному радиусу матрицы А;
2. существует положительный правый собственный вектор, соответствующий собственному значению r.
3. собственное значение имеет алгебраическую кратность равную 1.
Эта теорема была опубликована в 1912 году Фробениусом и явилась обобщением теоремы Перона, которая является следствием.
Теорме Перона (следствие). Положительная квадратная матрица А имеет положительное и действительное собственное значение r, имеющее алгебраическую кратность 1 и превосходит модули всех других собственных значений матрицы А. Этому r соответствует положительный собственный вектор.
Используя теорему Фробениуса-Перона, можно найти максимальное действительное значение матрицы, не используя характеристического многочлена матрицы.