Оптимальное управление запасами угля Змиевской ТЭС (стр. 7 из 11)
Рисунок 2.3 – Уровень запаса в зависимости от времени и с учетом дефицита
Из рисунка2.3 видно, что каждый период "пилы" T = n/b разбивается на два временных интервала, т. е. T = T1 + T2, где T1— время, в течение которого производится потребление запаса, T2 — время, когда запас отсутствует и накапливается дефицит, который будет перекрыт в момент поступления следующей партии. Необходимость покрытия дефицита приводит к тому, что максимальный уровень запаса s в момент поступления каждой партии теперь не равен ее объему n, а меньше его на величину дефицита n - s, накопившегося за время T (см. рис. 2.3)
В данной модели в функцию суммарных затрат С наряду с затратами С1 (на пополнение запаса) и С2 (на хранение запаса) необходимо ввести затраты С3 — на штраф из-за дефицита, т.е.
С = С1 + С2 + C3. (2.14)
Затраты С1, как и ранее, находим по формуле (2.13).При рассмотрении статической детерминированной модели без дефицита было показано, что затраты С2 при линейном расходе запаса равны затратам на хранение среднего запаса, который за время потребления Т1 равен sТ1/2; поэтому с учетом (2.8) и (2.5) эти затраты составят
(2.15)При расчете затрат С3 штраф за дефицит составляет в единицу времени с3 на каждую единицу продукта. Так как средний уровень дефицита за период Т2 равен (n - s) Т2 /2, то штраф за этот период T2; составит 1/2c3(n - s)T2, а за весь период q определяется по формуле (2.16):
(2.16)Таким образом, суммарные затраты равны:
(2.17)Рассматриваемая задача управления запасами сводится к отысканию такого объема партии n и максимального уровня запаса s, при которых функция С принимает минимальное значение. Оптимальный объем партии в задаче с дефицитом всегда больше (в 1/√р раз), чем в задаче без дефицита.
2.1.4 Стохастические модели управления запасами
В стохастических моделях управления запасами [10] спрос является случайным. Предположим, что спрос r за интервал времени Т является случайным и задан его закон (ряд) распределения р(r) или плотность вероятностей j(r) (обычно функции р(r) и j(r) оцениваются на основании опытных или статистических данных). Если спрос r ниже уровня запаса s, то приобретение (хранение, продажа) излишка продукта требует дополнительных затрат с2 на единицу продукта; наоборот, если спрос r выше уровня запаса s, то это приводит к штрафу за дефицит с3 на единицу продукции.
В качестве функции суммарных затрат, являющейся в стохастических моделях случайной величиной, рассматривают ее среднее значение или математическое ожидание.
В рассматриваемой модели при дискретном случайном спросе r, имеющем закон распределения р(r), математическое ожидание суммарных затрат имеет вид:
(2.18)В выражении (2.18) первое слагаемое учитывает затраты на приобретение (хранение) излишка s - r единиц продукта (при s £ r ), а второе слагаемое — штраф за дефицит на r - s единиц продукта (при r > s).
В случае непрерывного случайного спроса, задаваемого плотностью вероятностей j(r), выражение C(s) принимает вид:
(2.19)Задача управления запасами состоит в отыскании такого запаса s, при котором математическое ожидание суммарных затрат (2.18) или (2.19) принимает минимальное значение.
Известно, что при дискретном случайном спросе r выражение (2.19) минимально при запасе s0, удовлетворяющем неравенствам
F(s0) < p < F(s0 + 1) (2.20)
а при непрерывном случайном спросе r выражение (2.19) минимально при значении s0, определяемом из уравнения:
F(s0) = p, (2.21)
гдеF(s) = p(r < s) – это функция распределения спроса r;
F(s0) и F(s0+1) - значения функции распределения спроса r;
p - плотность убытков из-за неудовлетворенного спроса;
Плотность убытков из-за неудовлетворенного спроса определяемая по формуле (2.22):
,(2.22)гдес3- штраф за дефицит на единицу продукции;
с2- затраты на приобретение (хранение, продажу) излишка единицы продукции;
Плотность убытков из-за неудовлетворенного спроса играет важную роль в управлении запасами. Заметим, что 0 £ р£ 1.
Если значение с3 мало по сравнению с с2, то величина р близка к нулю: когда с3 значительно превосходит с2, то р близка к 1. Недопустимость дефицита равносильна предположению, что с3 = ¥ или р = 1.
Оптимальный запас s0 при непрерывном спросе по данному значению р может быть найден и графически на рисунке 2.4.
Рисунок 2.4 — График функции распределения спроса
2.1.5 Стохастические модели управления запасами с фиксированным временем задержки поставок
В рассмотренных выше идеализированных моделях управления запасами предполагалось, что пополнение запаса происходит практически мгновенно. Однако в ряде задач время задержки поставок может оказаться настолько значительным, что его необходимо учитывать в модели.
Пусть за время задержек поставок q уже заказаны n партий по одной в каждый из n периодов продолжительностью Т = q/n.
Обозначим:
sнз — первоначальный уровень запаса (к началу первого периода);
si — запас за i-й период;
ri — спрос за i-й период;
qi — пополнение запаса за i-й период.
Тогда к концу n-го периода на склад поступит Sqi единиц продукта, а будет израсходовано Sri единиц, т.е.
, (2.23)или
sn = s - r, (2.24)
гдеs - запас за i - й период и определяется по формуле:
; (2.25)где r - спрос за i - й период. Он равен:
(2.26)Требуется найти оптимальный объем партии заказа, который необходимо сделать за последний n-й период, предшествующий поступлению сделанного ранее заказа. Математическое ожидание суммарных затрат в этом случае определяется по формуле (2.18), а оптимальный запас s находится по формуле:
F(s0) < p < F(s0 + 1), (2.27)
Найдя оптимальный запас s0 и зная q1, q2,…, qn-1, можно вычислить qn по формуле (2.28) [10], т.е.
(2.28)2.2 Обоснование выбора модели управления запасами
Модели управления запасами специфичны, в большинстве случаев они не могут в точности отражать какую-то конкретную ситуацию. И, тем не менее, при планировании хозяйственной деятельности предприятия было бы неверным пренебрегать любыми возможностями использования математического аппарата для построения моделей управления запасами.
Деятельность Змиевской ТЭС осуществляется в таких направлениях: производство и продажа электрической и тепловой энергии, снабжение электроэнергии, коммерческо-посредническая и внешнеэкономическая деятельность, предоставление бытовых услуг. Для этого предприятие закупает уголь у Донецких и Луганских поставщиков с запасом, который хранится на складе.
В процессе деятельности спрос на уголь подвержен влиянию фактора сезонности, то есть существуют периоды, когда спрос выше запаса и угля на складе оказывается недостаточно. В этом случае предприятие обращается к поставщику, однако на его доставку требуется определенное время, в течении которого предприятие несет значительные убытки. Возможен и такой вариант, когда необходимости в запасе угля нет и предприятие несет убыток от его приобретения и хранения, не пользующегося спросом на данный момент времени.
Для расчета оптимального запаса были взяты данные по расходу угля за каждый день в течение всего года.
Анализ статистических данных показал, что величина потребления угля каждый месяц различна и носит случайный, но циклический характер. Этот факт указывает на то, что для расчета оптимального запаса продукции необходимо использовать стохастическую модель управления запасами.
2.3 Расчет оптимального запаса
2.3.1 Построение таблиц потребления угля
Построим зависимости потребления угля по дням, по месяцам, а также зависимость потребления, опираясь на данные таблицы 1.4.
Для построения зависимости потребления угля по дням, найдем среднее значения потребления по каждому дню. Для этого просуммируем потребление угля по каждому номеру дня в течение всего года, и разделим это значение на количество дней. Таким образом, мы получим диапазон потребления угля с 1 по 7 день, который показывает среднее значения потребления. Полученный график представлен на рисунке 2.5
Рисунок 2.5 — Потребление угля Змиевской ТЭС по дням
Для построения зависимости потребления угля по месяцам, найдем среднее значение потребления угля за каждый месяц, в течение года. Получим диапазон потребления угля с 1 по 12 месяц. Полученный график представлен на рисунке 2.6
Рисунок 2.6 — Потребление угля Змиевской ТЭС по месяцам
Из рисунков мы видим, что все графики — это периодические процессы.
Также мы видим ярко выраженную циклическую зависимость. Следовательно, функция распределения также должна иметь зависимость от дня, месяца и потребления.