Асимптотические методы исследования нестационарных режимов в сетях случайного доступа (стр. 10 из 12)

Найдем вид функции

.

2 этап.Неизвестные функции

будем искать в форме

(4.14)

где

(4.15)

– асимптотическая вероятность того, что состояние обслуживающего канала равно .

В системе уравнений (4.11) все функции с аргументом

разложим в ряд по приращению аргумента , ограничиваясь слагаемыми порядка , получим

(4.16)

В полученных формулах заменяем

по формуле (4.14), при этом учитываем, что из системы (4.12) следуют равенства

(4.17)

Получим неоднородную линейную систему алгебраических уравнений относительно неизвестных функций

(в предположении, что известна) вида

(4.18)

Заметим, что ранг соответствующей однородной системы равен двум. Следовательно, для того, чтобы решение системы (4.18) существовало, необходимо, чтобы ранг расширенной матрицы этой системы также равнялся двум, т.е. чтобы выполнялось следующее равенство

(4.19)

откуда следует, что

(4.20)

Чтобы показать равенство (4.20) воспользуемся определением для

и свойствами констант , получим

(4.21)

Если предположить, что функция

известна, то решение системы (4.18) примет вид

(4.22)

3 этап.В системе (4.11) все функции с аргументом

разложим в ряд по приращению аргумента , ограничиваясь слагаемыми порядка , будем иметь

(4.23)

Сложив левые и правые части системы уравнений (4.23) получим

(4.24)

Чтобы сделать предельный переход в полученной формуле, нужно чтобы все слагаемые имели порядок

. Заменим по формуле (4.14), подставив вместо их выражения, полученные на втором этапе. Для получим линейное дифференциальное уравнение второго порядка вида

(4.25)

где

(4.26)

Решение уравнения (4.25) можно найти в виде

(4.27)

4.2. Численный метод анализа распределения вероятностей

В редких случаях удается получить численное решение системы конечно-разностных уравнений для распределения случайного процесса

. В силу конечности числа АС это удается сделать.

Рассмотрим систему уравнений (4.1) и выпишем недостающие граничные условия для

, , .

1. Рассмотрим варианты того, как в момент времени

можно оказаться в состоянии :

а) пусть в момент времени

система находится в состоянии , то есть прибор обслуживает заявку и в ИПВ пусто. За время с вероятностью закончится обслуживание, и система окажется в состоянии ;

б) пусть в момент времени

система находится в состоянии , то есть прибор простаивает и в ИПВ пусто, с вероятностью за время не поступят заявки, и состояние системы не изменится.

2. Рассмотрим варианты того, как в момент времени

можно оказаться в состоянии :

а) пусть в момент времени

система находится в состоянии , то есть прибор обслуживает заявку и в ИПВ одна заявка. За время с вероятностью закончится обслуживание, и система окажется в состоянии ;

б) пусть в момент времени

система находится в состоянии , то есть прибор простаивает и в ИПВ одна заявка, с вероятностью за время не поступят заявки из внешнего источника и из ИПВ, и состояние системы не изменится.

3. Рассмотрим варианты того, как в момент времени

можно оказаться в состоянии :

а) пусть в момент времени

система находится в состоянии , то есть прибор оповещает о конфликте и в ИПВ N заявок. За время с вероятностью этап оповещения о конфликте завершится, и система перейдет в состояние ;

б) пусть в момент времени

система находится в состоянии , то есть прибор простаивает и в ИПВ N заявок, с вероятностью за время ни одна из них не обратится к прибору и состояние системы не изменится;