Асимптотические методы исследования нестационарных режимов в сетях случайного доступа (стр. 3 из 12)

Рассмотрим исходную систему уравнений (1.1) и произведем в ней замену переменных:

, , , . В результате замены производится переход от дискретной переменной к непрерывной переменной . В новых обозначениях производная равна .

Тогда систему (1.1) перепишем

,

, (1.2)

Получим вид решения системы (1.2), которую будем решать в три этапа.

1 этап.В уравнениях (1.2) устремим

и обозначим , заметим что, . Будем иметь

,

, (1.3)

.

Выразим

через и получим

,

, (1.4)

.

где

– асимптотическая плотность распределения вероятностей нормированного числа заявок в ИПВ.

Введем обозначения

(1.5)

(

- это асимптотическая вероятность того, что обслуживающий прибор находится в состоянии k). Из системы (1.3) следуют равенства, связывающие , , и выглядят так

(1.6)

.

Найдем вид функции

. Для этого перейдем ко второму этапу.

2 этап.Неизвестные функции

будем искать с точностью до в следующем виде

, (1.7)

Определим вид функций

, для этого в системе уравнений (1.2) разложим функции с аргументом в ряд по приращению аргумента (ограничиваясь двумя слагаемыми), будем иметь

,

, (1.8)

В полученные уравнения подставим

в форме (1.7), заменим разностью , сумму на G и не учтем слагаемые, имеющие порядок . Получим

,

(1.9)

Теперь приведем подобные слагаемые, учтем равенства (1.6), и получим неоднородную линейную систему алгебраических уравнений для нахождения неизвестных функций

такого вида

,

, (1.10)

Нетрудно заметить, что ранг матрицы однородной системы алгебраических уравнений, соответствующей (1.10) равен двум. Следовательно, для того, чтобы система была разрешима, необходимо, чтобы ранг расширенной матрицы этой системы был равен двум, т.е. чтобы выполнялось следующее равенство

. (1.11)

С учетом того, что

равенство (1.11) принимает вид

. (1.12)

Равенство нулю производной противоречит смыслу задачи, следовательно

, т. е. пропускная способность исследуемой сети связи равна асимптотической вероятности того, что обслуживающий прибор «обслуживает», на рис. 1.5 продемонстрирован этот результат.