Асимптотические методы исследования нестационарных режимов в сетях случайного доступа (стр. 6 из 12)

где

Нормированным решением полученного одномерного уравнения диффузии [8] является плотность нормального распределения вероятностей с нулевым средним и дисперсией

. (2.22)

3. Исследование нестационарной сети случайного доступа со статическим протоколом в условиях большой задержки

Исследуем сеть связи, функционирование которой изложено в разделе 1, в условиях большой задержки. В этом случае удобнее рассматривать случай, когда интенсивность каждой заявки в ИПВ равна

. Структура такой СМО имеет вид рис. 3.1.

Рис. 3.1 – Модель системы массового обслуживания

Вероятности переходов из состояния системы

в произвольный момент времени t в состояние за бесконечно малый интервал времени показаны на рис. 3.2, рис. 3.3, рис. 3.4.

Выпишем уравнения статистического равновесия для нестационарного распределения процесса

, описывающего функционирование сети

(3.1)

где

Рис. 3.2 – Возможные переходы из состояния

Рис. 3.3 – Возможные переходы из состояния

Рис. 3.4 – Возможные переходы из состояния

Найти точное аналитическое решение системы (3.1) практически невозможно, но можно решить асимптотически в условиях большой задержки, то есть при

.

Первое приближение

Для асимптотического решения системы (3.1) сделаем замену переменных

. В результате замены производится переход от дискретной переменной к непрерывной переменной .

В новых обозначениях

. Тогда система (3.1) примет вид

(3.2)

Получим вид решения системы (3.2), которую будем решать в два этапа.

1 этап.Считая

и предполагая, что , будем иметь

(3.3)

.

Выразим

через функцию и получим

(3.4)

где

- асимптотическая плотность нормированного числа заявок в источнике повторных вызовов.

Обозначим

(3.5)

Заметим, что из системы (3.3) следуют равенства

(3.6)

.

Осталось найти вид функции

. Для этого перейдем ко второму этапу.

2 этап.В системе (3.2) разложим функции по приращению аргумента

, ограничиваясь слагаемыми порядка , получим систему

(3.7)

Просуммируем полученные уравнения, поделим на

и перейдем . Тогда будем иметь

. (3.8)

С учетом того, что

равенство (3.8) принимает вид

. (3.9)

Таким образом мы получили, что

удовлетворяет уравнению Фоккера-Планка с коэффициентом переноса равным , и нулевым коэффициентом диффузии. Из определения для коэффициента переноса можно сделать вывод, что , то есть зависит от времени и – имеет смысл асимптотического среднего, в ее окрестности достаточно долго флуктуируют значения нормированного процесса .

Второе приближение

Зная асимптотическое среднее, найдем распределение вероятностей значений отклонения

от его среднего. Для этого в исходной системе уравнений (3.1) сделаем замену переменных , , , .

В новых обозначениях производная

равна .

Будем иметь

(3.10)

Решение системы (3.10) аналогично решению системы (3.2), но проводится в три этапа.

1 этап.В системе дифференциальных уравнений (3.10) положим

и найдем решение в виде