Нормированные пространства (стр. 3 из 8)
С другой стороны:
при 
.Это и доказывает равенство (1).
Пусть теперь
. По (1), учитывая, что 
, получаем 
(2’)При
Следовательно, из соотношения (2’), делая замену переменных
, получим первое равенство (2).Далее, для любого
выполняется 
(интегрирование по частям:
).Для доказательства второго равенства в (2) достаточно устремить в последнем соотношении число
к 
и использовать оценку: 
при 
.Предложение 2 доказано.
Замечание. Если функция
задана на 
, то, применяя равенство (2) для функции 
, 
, и учитывая, что 
, получим 
(3)Глава II. Интерполяция в пространствах суммируемых функций.
§1. Теорема Марцинкевича и ее применение.
Одной из важнейших в теории интерполяции является теорема Ж.Марцинкевича, доказанная им в 1939 году. Прежде чем рассмотреть теорему, докажем предложение.
Пусть дана функция
. Положим для 
, 
.Предложение 3. Пусть
, 
, для любого положительного числа 
и 
– функции, описанные выше. Тогда 
.Доказательство.
 |  |  |
 |
Нужно показать, что
, т.е. 
.I. Для функции
1) если 0<t
, то 
, т.к. 
2) Пусть t>1.
Обозначим
, 
.
. Конечность 
доказана в первом случае. Рассмотрим второй интеграл.Покажем, что
. Предположим противное, что 
.
, т.к. 
. С другой стороны, 
. Но 
на 
, т.е. 
, а это противоречие. Получили, что 
конечна и т.к. интеграл от ограниченной функции по конечной мере конечен, то 
. Тогда 
.II.для функции
:1) если
, то 
.2) Пусть
.Пусть
. Конечность 
доказана в первом случае. Нужно показать, что 
конечен.Докажем, что
. Предположим противное, что .
().С другой стороны
. Но 
, т.е.
. Пришли к противоречию.Получили, что
конечна и т.к. интеграл от ограниченной функции по конечной мере конечен, то 
. Следовательно, 
. Предложение доказано.Следствие. Для всех
справедливо включение: 
.Замечание 2. Пусть оператор
задан на пространстве 
и на 
. Тогда оператор можно распространить с сохранением линейности до оператора, действующего из пространства
т.е.
для любой функции 