Контрольная работа по Математике 2 (стр. 1 из 2)

1.01. В группе из 25 человек 10 учится на «отлично», 8 на «хорошо» и 7 на «удовлетворительно». Найти вероятность того, что из взятых наугад 8 человек 3 человека учатся на «отлично».

Решение. В данном случае испытание состоит в том, что из 25 человек наугад берутся 8 человек. При этом число всех равновозможных, несовместных и единственно возможных исходов равно

Здесь мы используем сочетания, т.к. подмножества из 8 элементов неупорядочены.

Количество способов, которыми из 10 отличников можно взять 3, есть

Остальных человек (не отличников) в группе из 8 человек у нас будет 8-3=5. Их мы выбираем из оставшихся 25-8=17 человек следующим числом способов:

Далее, вероятность того, что в группе из 8 человек будут 3 отличника, вычисляем по классической формуле

2.01. Программа экзамена состоит из 30 вопросов. Из 20 студентов группы 8 человек выучили все вопросы, 6 человек по 25 вопросов, 5 человек по 20 вопросов, а один человек 10 вопросов. Определить вероятность того, что случайно вызванный студент ответит на два вопроса билета.

Решение. Число способов составления билетов по два вопроса из 30 есть

Для каждого из 8 человек, знающих все вопросы, число билетов будет тем же самым, т.е., вероятность найти билет с известными вопросами есть 1 или 100%. Доля таких студентов в группе есть

Для следующих 6 человек возможное число билетов с известными вопросами есть

. Вероятность для них найти билет с известными вопросами есть

. Доля таких студентов в группе есть

Аналогично, для следующих 5 человек

, их доля есть

Для того, кто знает только 10 вопросов, число выигрышных билетов есть

, его доля есть

Теперь воспользуемся формулой полной вероятности

=70,9%

3.01. Всхожесть семян некоторого растения составляет 80%. Найти вероятность того, что из 6 посеянных семян взойдёт: три, не менее трёх, не более четырёх.

Решение. Так как возможность одновременного всхода и гибели семени нереальна, это несовместные события, то вероятность гибели семени есть q=1-p=0,2.

Вероятность появления ровно 3 раза в серии из 6 событий находим по формуле Бернулли, так как число испытаний n = 6 невелико (n £ 10):

Не менее трёх ― это означает либо 3, либо 4, либо 5, либо 6. Вычислим вероятность проращивания всех 6 семян: Р₆(6)=0,8⁶=0,262.

Соответственно,

Следовательно, вероятность того, что взойдёт не менее 3 семян, есть

Р_n≥3(6)= P₃(6)+P₄(6)+P₅(6)+P₆(6)=0,082+0,262+0,246+0,393=0,983

Не более четырёх ― это значит, любое число, кроме 5 и 6, т.е., вероятность такого события есть

Р_n≤4(6)=1-(P₆(6)+P₅(6))=1-0,393-0,262=0,345

Ответ:

, Р_n≥3(6)=0,983, Р_n≤4(6)=0,345.

4.01. Вероятность производства бракованной детали равна 0,008. Найти вероятность того, что из взятых на проверку 1000 деталей будет 10 бракованных.

Решение. В этой задаче число испытаний N = 1000 достаточно велико (N > 10), поэтому используем приближенные формулы Лапласа.

Число бракованных деталей равно 10, то есть

. Соответствующую вероятность находим по локальной формуле Лапласа.

, где

Результат вычислений для x₀ округляем с точностью до 0,01, так как значения функции φ(х₀) табулируются в с такой точностью. По специальной таблице, находим: φ(0,71)=0,3101.

Следовательно,

5.01. Из 25 контрольных работ, среди которых 5 оценены на «отлично», наугад извлекаются 3 работы. Найти закон распределения дискретной случайной величины Х ― числа работ, оцененных на отлично. Найти числовые характеристики случайной величины Х. Построить функцию распределения.

Решение. Имеем случайную величину Х ― число отличных работ. Её возможные значения

Пусть у нас не попалось ни одной из отличных работ, т.е., вытянули все 3 не отличные. Вероятность этого есть

Пусть теперь есть только одна отличная работа. Она может быть вытащена в первый, во второй или только в третий раз. Вероятность такого события есть

. Здесь 20 и 5 ― соответственно число не отличных и отличных работ в исходном массиве, 25, 24 и 23 ― число работ, последовательно уменьшающихся по мере того как мы выбираем их по одной.

Далее, пусть есть 2 отличных работы и соответственно 1 не отличная. Эта одна не отличная работа может попасться в первый, второй или третий раз:

И наконец, единственный исход со всеми отличными работами:

Полученные значения заносим в таблицу, которая и будет представлять закон распределения данной случайной величины:

x_i	0	1	2	3
p_i	0,4956	0,4130	0,0870	0,0043

Сумма всех вероятностей

Для нахождения интегральной функции распределения воспользуемся её определением применительно к каждому промежутку изменения случайной величины

x≤0	F(x)=P(x<0)=0
0≤x≤1	F(x)=P(x<1)=p₀=0,4956
1≤x≤2	F(x)=P(x<2)=p₀+p₁=0,4956+0,4130=0,9086
2≤x≤3	F(x)=P(x<3)=p₀+p₁+p₂=0,9956
3≤x≤∞	F(x)=1

Итак, искомая функция распределения выглядит следующим образом:

Чертим график

Найдём числовые характеристики случайной величины:

Мода М₀=1

Математическое ожидание

Дисперсия

Среднеквадратичное отклонение

6.01. Случайная величина Х задана плотностью вероятностей

Определить параметр А, функцию распределения F(x), моду, математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратичное отклонение, вероятность того, что в четырёх независимых испытаниях случайная величина Х попадёт 3 раза в интервал (0, 2). Построить графики функций f(x), F(x).

Решение. Так как ненулевая наша функция распределения только на интервале от 1 до ∞, то воспользуемся свойством нормировки плотности вероятности:

, откуда А=4

Таким образом,

Чертим график такой функции

Найдём моду такой функции. Мо=1, так как наибольшее значение плотность вероятности принимает именно при x=1

Найдём медиану:

. Отсюда

Найдём математическое ожидание