Решение.
1) По условию
есть уравнение высоты треугольника, значит, её нормальный вектор является направляющим вектором стороны ВС. (ВС).2) Обозначим координаты вершины А через x1, y1: A(x1; y1). Так как точка М(х; у) середина отрезка АВ, то
Так как точка М(х; у) лежит на медиане, то её координаты удовлетворяют уравнению Кроме того, точка А лежит на высоте h: , значит, координаты точки A(x1; y1) удовлетворяют этому уравнению. Получаем линейную алгебраическую систему двух уравнений с двумя неизвестными:Отсюда находим х1=-4, у1=1, А(-4; 1).
3) Найдем уравнение стороны АВ треугольника как уравнение прямой, проходящей через В(2; -7) параллельно вектору
(АВ).
4) Найдем координаты вершины С как точки пересечения прямых (ВС) и (m):
отсюда С(5; -6).5) Уравнение стороны АС как уравнение прямой, проходящей через две данные точки: А(-4; 1) и С(5; -6);
(АС).Ответ: (ВС)
, (АВ) ,(АС)
.Пример 5. Составить уравнение биссектрис углов между прямыми
.Решение.
Точка М(х, у) лежит на одной из биссектрис углов, образованных данными прямыми тогда и только тогда, когда расстояние d1 и d2 от этой точки М до данных прямых равны между собой: d1=d2 , т.е.
Значит, уравнение одной из биссектрис имеет вид:
, а уравнение другой илиОтвет:
Пример 6. Составить уравнение биссектрисы того угла между двумя прямыми
в котором лежит точка А(2; -1).Решение.
Подставляя координаты точки А в левые части уравнения прямых, получим 2+7(-1)+3<0, 2-1+2>0. Значит, точка А лежит в тех полуплоскостях от данных прямых, для координат точек которых
Искомая биссектриса проходит, следовательно, в тех областях, для координат точек которых функции и имеют разные знаки. Значит, уравнение искомой биссектрисы: илиОтвет:
Плоскость
1)
уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно нормальному вектору2)
общее уравнение плоскости, - нормальный вектор этой плоскости.3)
уравнение плоскости в отрезках, где a, b, c – величины направленных отрезков, отсекаемых плоскостью на координатных осях Ох, Оу, Оz соответственно;4) Пусть даны две плоскости
В качестве угла
между плоскостями и принимается угол между их нормальными векторами: или в координатной форме5) Условие перпендикулярности двух плоскостей
и : или в координатной форме: .6) Условие параллельности двух плоскостей
и :7) Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки :
М1(х1; y1; z1), М2(х2; y2; z2), М3(х3; y3; z3):
8) Если плоскость
задана общим уравнением а - некоторая точка пространства, то есть формула расстояния от точки М0 до плоскости .9) Совокупность всех плоскостей, проходящих через одну и ту же прямую, называется пучком плоскостей.
Если
и есть уравнения двух различных непараллельных плоскостей, пересечением которых служит некоторая прямая L, а числа любые не равные одновременно нулю, то есть уравнение плоскости, проходящей через прямую L. Более того, какова бы ни была проходящая через прямую L плоскость, она может быть определена из пучка плоскостей при определенных значениях .Пример 1. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку М1(2; 1; -1) и имеет нормальный вектор
Решение.
Для вывода уравнения плоскости возьмем на этой плоскости точку М(x; y; z) с текущими координатами. Получим вектор