Смекни!
smekni.com

Аналитическая геометрия 2 (стр. 3 из 6)

По условию

Ответ:

Пример 2. Даны две точки М1(3; -1; 2) М2(4; -2; -1). Составить уравнение плоскости, проходящей через М1 перпендикулярно вектору

Решение.

По условию вектор

является нормальным вектором искомой плоскости
Уравнение плоскости, проходящей через точку М1 перпендикулярно вектору
есть
или

Ответ:

Пример 3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М1(3; 4; -5) параллельно двум векторам

и

Решение.

Отложим векторы

и
в плоскости, проходящей через точку М1, и возьмем на искомой плоскости точку М(x; y; z) с текущими координатами.

Получим, что три вектора

,
лежат в одной плоскости, т.е. они компланарны.

Условие компланарности есть равенство нулю определителя, составленного из координат этих векторов.

Ответ:

Пример 4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М1(2; -1; 3) и М2(3; 1; 2) параллельно вектору

Решение.

Отложим вектор

и точку М(x; y; z) с текущими координатами в плоскости, проходящей через точки М1 и М2.

Получим компланарные векторы

Следовательно, по условию компланарности трех векторов будем иметь:

или

Ответ:

Пример 5. Составить уравнение плоскости, проходящей через три точку М1(3; -1; 2), М2(4; -1; -1) и М3(2; 0; 2).

Решение.

Возьмем на плоскости точку с текущими координатами М(x; y; z), будем иметь векторы


Эти векторы по условию компланарны. Условие компланарности есть равенство нулю определителя, составленного из координат этих векторов:

или

Ответ:

Пример 6. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М1(3; -2; 7) параллельно плоскости

Решение.

Так как искомая плоскость и данная – параллельны, то у них общий нормальный вектор. Таким образом, получим: через данную точку М1 провести плоскость, перпендикулярно данному вектору

Ответ:

Пример 7. Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало координат перпендикулярно к двум плоскостям:

Решение.

Так как искомая плоскость перпендикулярна плоскостям

и

, то нормальные векторы
и
и вектор
(М – точка с текущими координатами) – компланарны. Следовательно,
или

Ответ:

Пример 8. Составить уравнение плоскости, проходящей через две точки М1(1; -1; -2) и М2(3; 1; 1) перпендикулярно к плоскости

Решение.

Так как искомая плоскость перпендикулярна плоскости

, то нормальный вектор

отложим в плоскости точек М1 и М2.

Возьмем на искомой плоскости ещё точку с текущими координатами, получим векторы:

Три вектора

и
- компланарны, поэтому
или

Ответ:

Пример 9. Составить уравнение плоскости, которая проходит через ось Оу и точку М2(1; 4; 3).

Решение.

Так как плоскость проходит через ось Оу, то её уравнение можно взять в виде

. Плоскость
проходит через точку М2(1; 4; 3), значит, координаты точки удовлетворяют уравнению. Получаем:
,
к=-3,

Ответ:

Пример 10. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки М1(7; 2; -3) и М2(5; 6; -4) параллельно оси Ох.

Решение.

Уравнение плоскости, параллельной оси Ох, имеет вид:

(коэффициенты B, C, D отличны от нуля). Запишем это уравнение так:
Так как эта плоскость проходит через точки М1 и М2, то координаты этих точек удовлетворяют искомому уравнению, получаем линейную алгебраическую систему уравнений: