Тогда уравнение искомого перпендикуляра будет:
Ответ:
Пример 13. Задана плоскость Р: и прямая L:
, причем LÎР.Требуется найти:
a) угол между прямой и плоскостью;
b) координаты точек пересечения прямой и плоскости.
Решение.
a)
, , ,
b) Найдем точку пересечения прямой и плоскости.
, или параметрически х=1, у=2t, z=t-1.Подставим параметрические уравнения прямой в уравнение плоскости, найдем значение t: 1+2t-t+1+1=0; t=-3. Тогда координаты точки пересечения прямой и плоскости будут: х=1, у=-6, z=-4.
Ответ: а)
b) (1; -6; -4).Пример 14. Определить косинус угла между прямыми:
Решение.
Найдем направляющие векторы данных прямых
,
Ответ:
Пример 15. Найти проекцию точки А(4; -3; 1) на плоскость
Решение.
8) Найдем уравнение перпендикуляра, проходящего через точку А(4; -3; 1), к плоскости
Получим
.9) Найдем точку пересечения прямой и данной плоскости. Для этого подставим х=t+4, у=2t, z=-t+1 в уравнение плоскости. Будем иметь уравнение относительно параметра t: t+4+2(2t-3)-(t+1)-3=0; 6t=6; t=1.
10) Подставим найденное значение параметра t=1 в параметрическое уравнение прямой, получим х0=5, у0=-1, z0=0.
Ответ: (5; -1; 0).
Пример 16. Найти расстояние от точки М(2; -1; 3) до прямой
. Решение. ; найдемОтвет:
Пример 17. Заданы скрещивающиеся прямые L1:
иL2:
Найти расстояние d(L1; L2) между прямыми и написать уравнение общего перпендикуляра L к этим прямым.Решение.
Найдем уравнение плоскости Р, проходящей через прямую L1, параллельную L2. Точка М1(0; 1; -2) лежит на прямой L1 и, следовательно, принадлежит искомой плоскости Р. В качестве нормального вектора к этой плоскости возьмем вектор
Уравнение плоскости Р:
или в общем виде Расстояние d(L1; L2) равно расстоянию от любой точки прямой L2, например, точки М2(-1; -1; 2), до данной плоскости Р.
Для того, чтобы составить уравнение общего перпендикуляра L, найдем уравнение плоскостей Р1 и Р2, проходящих через заданные L1 и L2 сооответсвенно и перпендикулярных плоскостей Р. Имеем: М1(0; 1; -2)ÎР1 и
откуда Р1:Аналогично, М2(-1; -1; 2)ÎР2 (^Р) и
откуда Р2: Так как L=P1ÇP2, то - общее уравнение прямой L.Ответ:
Пример 18: Составить уравнение прямой, проходящей через точку М0(2; 1; 0) и пересекающей две прямые
и .Решение.
Искомую прямую можно рассматривать как прямую, по которой пересекаются две плоскости, проходящие через данную точку и одну из данных прямых.
Уравнения этих плоскостей:
,или - искомые уравнения прямой.
Ответ:
Библиографический список
1. Писменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: [ в 2 ч.]. Ч. 1 / Д. Т. Писменный. – 6-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2006. – 288 с.
2. Соболь Б. В., Мишняков Н. Т., Поркшеян В. М. Практикум по высшей математике. – Ростов Н/ Д: изд-во «Феникс», 2004. – 640 с.
1) проверить, что заданные высоты не проходят через известную вершину C;
2) найти угловые коэффициенты данных прямых;
3) найти угловые коэффициенты сторон треугольника BC и AС, исходя из того, что прямые, на которых лежат эти стороны, перпендикулярны данным прямым (высотам):
4) составить уравнения этих сторон, зная их угловые коэффициенты и точку С, через которую они проходят;
5) найти остальные вершины треугольника, решая совместно уравнения соответствующих высот и сторон треугольника;
6) найти уравнение оставшейся стороны AB треугольника по двум точкам - найденным вершинам А и В.