Аналитическая геометрия 2 (стр. 1 из 6)

министерство образования российской федерации

магнитогорский государственный

технический университет им. г. и. носова

кафедра математики

аналитическая геометрия

Методическая разработка для самостоятельной

работы студентов по курсу «Высшая математика»

Магнитогорск

2007

Составитель: Акуленко И. В.

Аналитическая геометрия: Методическая разработка для самостоятельной работы студентов по курсу «Высшая математика» для студентов всех специальностей. Магнитогорск: МГТУ, 2007. 30 с.

Методическая разработка содержит перечень вопросов по изучаемому разделу, решение типовых задач по изучаемому разделу.

Рецензент: старший преподаватель Коротецкая В. А.

Введение

Методическая разработка предназначена для студентов всех специальностей.

Данная методическая разработка ставит своей целью помочь студенту самостоятельно овладеть методами решения задач по разделу «Аналитическая геометрия».

В методической разработке:

• содержится теоретическое введение;
• решение типовых задач;
• указана литература.

Методическая разработка предоставляет студенту широкие возможности для активной самостоятельной работы.

Прямая на плоскости

1)

– общее уравнение прямой;

2)

– уравнение прямой, проходящей через точку М₀(х₀, у₀) перпендикулярно нормальному вектору

3)

уравнение прямой, проходящей через точку М₀(х₀, у₀) параллельно направляющему вектору (каноническое уравнение прямой);

4)

параметрическое уравнение прямой;

5)

уравнение прямой в отрезках, где и - величины направленных отрезков, отсекаемых на координатных осях и соответственно;

6)

уравнение прямой, проходящей через точку М₀(х₀, у₀), угловой коэффициент прямой, равный тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси ;

7)

уравнение прямой с угловым коэффициентом ; - величина отрезка, отсекаемого прямой на оси ;

8)

тангенс острого угла между двумя прямыми и

9)

и условия параллельности и перпендикулярности двух прямых и

10)

расстояние от точки М₀(х₀, у₀) до прямой ;

11)

уравнение пучка прямых, проходящих через точку пересечения прямых и

12)

уравнение прямой, проходящей через две данные точки М₁(х₁, у₁) и М₂(х₂, у₂);

Пример 1. Даны вершины треугольника М₁(2; 1), М₂(-1; -1) и М₃(3; 4). Составить уравнения его высот.

Решение.

Пусть М₁N – высота треугольника М₁М₂М₃. Рассмотрим два вектора

и По условию эти векторы ортогональны.

Значит,

Аналогично находим другие высоты треугольника.

Ответ:

Пример 2. Составить уравнения сторон и медиан треугольника с вершинами А(3; 2), В(5; -2), С(1; 0).

Решение.

1) Воспользуемся уравнением прямой,

АВ:

Найдем уравнение медианы АМ. Для этого найдем координаты точки М – середины отрезка ВС:

М(3; -1).

Уравнение АМ:

уравнение медианы, проведенной из вершины А.

2) Найдем уравнения СВ и CN; N(x; y), где

N(4; 0).

Тогда ВС:

CN:

Ответ: АВ:

ВС: СА: АМ:

СN:

BF:

Пример 3. Даны вершины треугольника А(1; -1), В(-2; 1) и С(3;5). Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины А на медиану, проведенную из вершины В.

Решение.

По условию

следовательно,

Тогда искомое уравнение будет:

Ответ:

Пример 4. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин В(2;-7), а также уравнение высоты

и медианы проведенных из различных вершин.