Краткое доказательство гипотезы Билля
Гипотеза Билля формулируется следующим образом: неопределенное уравнение:
Аx +Вy= Сz /1/
не имеет решения в целых положительных числах А, В, С, x, y и z при условии, что x, y и z больше 2.
Суть гипотезы Билля не изменится, если уравнение /1/ запишем следующим образом:
Аx = Сz - Вy /2/
Уравнение /2/ рассматриваем как параметрическое уравнение с параметром A и переменными B и С.
Уравнение /2/ запишем в следующем виде:
Аx = (С0,5z)2 – (В0,5y)2 /3/
Обозначим:
В0,5y =V /4/
С0,5z =U /5/
Отсюда:
Вy =V2 /6/
Сz =U2 /7/
В =
/8/С =
/9/Тогда из уравнений /2/, /6/ и /7/ следует:
Аx = Сz – Вy =U2-V2 /10/
Уравнение /10/ в соответствии с известной зависимостью для разности квадратов двух чисел запишем в виде:
Аx = (U-V)∙(U+V) /11/
Для доказательства гипотезы Билля используем метод замены переменных. Обозначим:
U-V=X /12/
Из уравнения /12/ имеем:
U=V+X /13/
Из уравнений /11/, /12/ и /13/ имеем:
Аx = X· (V+X+V)=X (2V+X)=2VХ+X2 /14/
Из уравнения /14/ имеем:
Аx – X2=2VХ /15/
Отсюда:
V=
/16/Из уравнений /13/ и /16/ имеем:
U=
/17/Из уравнений /8/, /9/, /16/ и /17/ имеем:
B =
/18/C =
/19/Алгебраическое выражение
включает в себе возведение чисел в степень, вычитание одного числа из другого и деление их разности на число.Алгебраическое выражение
включает в себе возведение чисел в степень, их сложение и деление суммы этих чисел на число.Из анализа этих алгебраических выражений следует, что с помощью указанных математических действий нельзя получить числа, равные
и 
соответственно, т.е.: 
; /20/ 
, /21/где: S и R – должны быть целыми числами.
Поэтому в соответствии с уравнениями /18/, /19/, /20/ и /21/:
– дробное число; 
– дробное число.Таким образом, числа В и С – дробные числа.
Следовательно, гипотеза Билля не имеет решения в целых положительных числах.