Системы счисления (стр. 2 из 3)

Перевод целых чисел

1. основание новой системы счисления выразить в десятичной системе счисления и все последующие действия производить в десятичной системе счисления;

2. последовательно выполнять деление данного числа и получаемых неполных частых на основание новой системы счисления до тех пор, пока не получим неполное частное, меньшее делителя;

3. полученные остатки, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления;

4. составить число в новой системе счисления, записывая его, начиная с последнего частного.

Пример 1. Перевести число

в двоичную систему. Для обозначения цифр используем символику:

Перевод дробных чисел.

1. основание новой системы счисления выразить в десятичной системе и все последующие действия производить в десятичной системе счисления;

2. последовательно умножать данное число и полученные дробные части произведений на основание новой системы до тех пор, пока дробная часть не станет равной нулю или не будет достигнута требуемая точность представления числа в новой системе счисления;

3. полученные целые части произведений, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления;

4. составить дробную часть числа в новой системе счисления, начиная с целой части первого произведения.

Перевод смешанных чисел, содержащих целую и дробную части, осуществляется в два этапа. Целая и дробная части исходного числа переводятся отдельно по соответствующим алгоритмам. В итоговой записи числа в новой системе счисления целая часть отделяется от дробной запятой (точкой).

Пример 4. Перевести десятичное число 315,1875 в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления.

Из рассмотренных выше примеров следует:

.

Задачи

№23

Перевести целые числа из десятичной системы счисления в троичную:

1. 523; 65; 7000; 2307; 325

2. 12; 524; 76; 121; 56.

№24

Перевести целые числа из десятичной системы счисления в восьмеричную:

1. 856; 664; 5012; 6435; 78;

2. 214; 89; 998; 653; 111.

№25

Перевести десятичные дроби в двоичную систему счисления. В двоичной записи числа сохранить шесть знаков.

1. 0,654; 0,321; 0,6135; 0,9876;

2. 0,55; 0,333; 0,1213; 0,453.

№26

Перевести десятичные дроби в шестнадцатеричную систему счисления. В новой записи дроби сохранить шесть знаков

1. 0,745; 0,101; 0,8453; 0,3451;

2. 0,8455; 0,225; 01234; 0,455

№27

Перевести смешанные десятичные числа в троичную и пятеричную системы счисления, оставить пять знаков в дробной части нового числа:

1. 40,5; 34,25; 124,44;

2. 78,333; 225,52; 90,99.

№28

Перевести смешанные десятичные числа в двоичную и восьмеричную системы счисления, оставив пять знаков в дробной части нового числа:

1. 21,5; 432,54; 678,333;

2. 12,25; 97,444; 7896,2.

№29

Перевести из десятичной системы счисления следующие числа:

1. 345 -

, 0,125 - , 45,65 - ;

2. 675 -

, 0,333 - , 23,15.

№30

Перевести из десятичной системы счисления следующие числа:

1. 1,25 -

, 675 - , 0,355 - ;

2. 890 -

, 0,675 - , 12,35 -

№31

Перевести из десятичной системы счисления следующие числа:

1. 425 -

, 0,425 - , 98,45 - ;

2. 0,55 -

, 765 - , 765,75 - .

№32

Перевести из десятичной системы счисления следующие числа:

1. 98 -

, 0,545 - , 87,325 - ;

2. 0,775 -

, 907 - , 566,225 -

Системы счисления, используемые в ЭВМ (с основанием

)

Для того чтобы целое двоичное число записать в системе счисления с основанием

(4,8,16 и т.д.), нужно:

1. данное двоичное число разбить справа налево на группы по n цифр в каждой;

2. если в последней левой группе окажется меньше n разрядов, то ее надо дополнить слева нулями до нужного числа разрядов;

3. рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное число и записать ее соответствующей цифрой системе счисления с основанием

.

Для того чтобы дробное двоичное число записать в системе счисления с основанием

, нужно:

1. данное двоичное число разбить слева направо на группы по n цифр в каждой;

2. если в последней правой группе окажется меньше n разрядов, то ее надо дополнить справа нулями до нужного числа разрядов;

3. рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное число и записать ее соответствующей цифрой системе счисления с основанием

.

Для того чтобы произвольное двоичное число записать в системе счисления с основанием

, нужно:

1. данное двоичное число разбить слева и справа (целую и дробную части) на группы по n цифр в каждой;

2. если в последних правой и левой группах окажется меньше n разрядов, то их нужно дополнить нулями до нужного числа разрядов;

3. рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное число и записать ее соответствующей цифрой системе счисления с основанием

.

Для того чтобы произвольное число, записанное в системе счисления с основанием

, перевести в двоичную систему счисления, нужно каждую цифру этого числа заменить ее n-разрядным эквивалентом в двоичной системе счисления.

Применительно к компьютерной информации часто используются системы счисления с основанием 8 (восьмеричная) и 16 (шестнадцатеричная).

Пример 5. Перевести число

в двоичную систему.

Для решения задачи воспользуемся приведенной ниже двоично-шестнадцатеричной таблицей.

Двоично-шестнадцатеричная таблица

16	2	16	2
0	0000	8	1000
1	0001	9	1001
2	0010	A	1010
3	0011	B	1011
4	0100	C	1100
5	0101	D	1101
6	0110	E	1110
7	0111	F	1111

В одном столбце таблицы помещены шестнадцатеричные цифры, напротив, в соседнем столбце – равные им двоичные числа. Причем все двоичные числа записаны в четырехзначном виде (там, где знаков меньше четырех, слева добавлены нули).

А теперь проделаем следующее: каждую цифру в шестнадцатеричном числе 15FC заменим на соответствующую ей в таблице четверку двоичных знаков. Иначе говоря, перекодируем число 15FC по таблице в двоичную форму. Получается:

0001 0101 1111 1100

Если отбросить нули слева (в любой системе счисления они не влияют на значения числа), то получим искомое двоичное число. Таким образом:

В справедливости этого равенства можно убедиться, производя тот же перевод через десятичную систему.

Пример 6. Перевести двоичное число 110111101011101111 в шестнадцатеричную систему.

Разделим данное число на группы по четыре цифры, начиная справа. Если в крайней левой группе окажется меньше четырех цифр, то дополним ее нулями.

0011 0111 1010 1110 1111

А теперь, глядя на двоично-шестнадцатеричную таблицу, заменим каждую двоичную группу на соответствующую шестнадцатеричную цифру.

3 7 А E F

Следовательно:

Пример 7. Перевести смешанное число

в шестнадцатеричную систему.