Предельные точки (стр. 3 из 6)

Мощность множеств, эквивалентных множеству всех последовательностей, составленных из нулей и единиц, называется мощностью континуума.

Утверждение 4. Множество

точек отрезка имеет мощность континуума.

Доказательство: в двоичной записи каждая точка единичного отрезка

может быть записана в виде

Такая запись единственна, за исключением чисел вида

.А числам такого вида соответствуют в точности две записи (у одной, начиная с некоторого номера, все цифры равны нулю, а у другой – все единицы). Для всех точек, за исключением точек вида , установим соответствие так:

А так как множество точек вида

счетно, то счетным множеством является также множество последовательностей, им соответствующих. Следовательно, между ними можно установить взаимно однозначное соответствие и тем самым будет установлено взаимно однозначное соответствие между точками отрезка и множеством последовательностей, составленных из нулей и единиц, т. е. множество точек отрезка имеет мощность континуума.

2. Замкнутые и открытые множества

Пусть задано множество

.

Точка

называется предельной точкой множества , если из того, что и , следует, что .

Предельная точка

может принадлежать и не принадлежать , но если все предельные точки принадлежат , то множество называется замкнутым.

Таким образом, множество

замкнуто, если из того, что и , следует, что .

Пустое множество считается замкнутым.

Пример 1. Пусть

есть функция, определенная и непрерывная на и — любое число.

Множества 1)

, 2) , 3) замкнуты.

Доказательство в случае 1). Пусть

и ; тогда и . Но тогда и , т.е. .

Пример 2. Шар V=

есть замкнутое множество в силу

примера 1, потому что функция

определена и непрерывна на .

Отметим, что если

— замкнутое множество, то — открытое множество.

В самом деле, если бы это было не так, то в

существовала бы точка ,которая не есть внутренняя точка . Выходит, что, каково бы ни было натуральное число , должна найтись точка , для которой

Мы получили бы последовательность точек

, . Но по условию замкнуто, и потому . Мы получили противоречие с тем, что предполагалось, что .

Обратно, если

— открытое множество, то — замкнутое множество.

В самом деле, если бы это было не так, то нашлась бы последовательность точек

, и . Но — открытое множество, и можно покрыть шаром с центром в ней, полностью принадлежащим . Получилось противоречие с тем, что любой такой шар содержит точки .

Пример 3. Пусть

— непрерывная функция. 1) множество замкнуто, а открыто. 2) множество замкнуто, а открыто.

Если задано произвольное непустое множество

, отличное от , то можно представить в виде суммы трех непересекающихся попарно множеств:

,

где

— совокупность внутренних точек — это открытое ядро , — совокупность внутренних точек — это открытое ядро , — совокупность точек, каждая из которых не есть внутренняя для , но и не есть внутренняя для . Такие точки называются граничными точками , а называется границей ; открыто, открыто, + тоже открыто, = замкнуто.