Решение задач по теории вероятности (стр. 11 из 16)

а) законы распределения одномерных случайных величин X и Y;

б) условные законы распределения случайной величины X при условии Y = 2 и случайной величины Y при условии X = 1;

в) вычислить P(Y< X).

Решение

а) Случайная величина X может принимать значения:

Х = 1 с вероятностью P₁ = 0,10 + 0,25 + 0,30 + 0,15 = 0,8;

X = 2 с вероятностью P₂ = 0,10 + 0,05 + 0,00 + 0,05 = 0,2,

т.е. ее закон распределения

X:	xi	1	2
	pi	0,8	0,2

Аналогично закон распределения

Y:	yj	-1	0	1	2
	pj	0,2	0,3	0,3	0,2

б) Условный закон распределения Х при условии, что Y = 2. получим, если вероятность p_ij , стоящие в последнем столбце табл.5.2, разделим на их сумму, т.е. p(Y = 2) = 0,2. Получим

ХY=2:	хi	1	2
	pj(хi)	0,75	0,25

Аналогично для получения условного закона распределения Y при условии Х = 1 вероятности p_ij, стоящие в первой строке табл. 5.2, делим на их сумму, т.е. на p(X = 1) = 0,8. Получим

YХ=1:	yj	-1	0	1	2
	pi(yj)	0,125	0,3125	0,375	0,1875

в) Для нахождения вероятностей Р(Y < Х) складываем вероятности событий p_ij из табл. 5.2, для которых y_j < х_i.

Получим

Р(Y < Х) = 0,10 + 0,25 + 0,10 + 0,05 + 0,00 = 0,5

Пример 5.2

Двумерная случайная величина распределена равномерно в круге радиуса R = 1 (рис. 5.5). Определить:

а) выражение совместной плотности и функции распределения двумерной случайной величины (X, У);

б) плотности вероятности и функции распределения одномерных составляющих X и Y;

в) вероятность того, что расстояние от точки (X, Y) до начала координат будет меньше 1/3.

Решение

а) По условию

Постоянную С можно найти из соотношения (5.18):

Проще это сделать, исходя из геометрического смысла соотношения (5.18), означающего, что объем тела, ограниченного поверхностью распределения φ(х,у) и плоскостью Оху, равен 1.

В данном случае, это объем цилиндра с площадью основания πR² = π*1² = π и высотой С (рис. 5.6), равный п*С = 1, откуда С = 1/π. Следовательно,

Найдем функцию распределения F(x,y) по формуле (5.17):

(5.21)

Очевидно, что этот интеграл с точностью до множителя 1/π совпадает с площадью области D – области пересечения круга

с бесконечным квадрантом левее и ниже точки M(x,y) (рис.5.7).

Опустим расчеты интеграла (5.21) для различных х и у, но отметим очевидное, что

при x ≤ -1, -∞ < y < ∞ или при -∞ < х < ∞, у < - 1 F(x,y) = 0,

так как в этом случае область D – пустая, а при x >1, у >1 F (х,у) = 1, так как при этом область D полностью совпадает с кругом х²+ у² < 1, на котором совместная плотность φ(х,у) отлична от нуля.

б) Найдем функции распределения одномерных составляющих X и Y. По формуле (5.19) при -1< х < 1

Итак,

Аналогично

Найдем плотности вероятности одномерных составляющих Х и Y. По формуле:

График плотности φ₁(х) показан на рис. 5.8.

Аналогично

в) Искомую вероятность

, т.е. вероятность того. Что случайная точка (X,Y) будет находится в круге радиуса R₁ = 1/3 (см. рис. 5.5), можно было найти по формуле:

,

но проще это сделать, используя понятие «геометрической вероятности», т.е.

Пример 5.3

По данным примера 5.3 определить:

а) условные плотности случайных величин X и У;

б) зависимы или независимы случайные величины X и Y;

в) условные математические ожидания и условные дисперсии.

Решение

а) Найдем условную плотность φ_y(x) по формуле (5.22), учитывая, что φ₂(y) ≠ 0.

График φ_y(x) при y = 1/2 показан на рис. 5.11.

Аналогично

б) X и Y – независимые случайные величины, так как φ(x,y) ≠ φ₁(x)φ₂(y) или φ_y(x) ≠ φ₁(x), φ_х(y) ≠ φ₂(y).

в) Найдем условное математическое ожидание M_x(Y), учитывая, что

.

Аналогично

Этот результат очевиден в силу того, что круг x² + y² ≤ 1 (рис.5.5) симметричен относительно координатных осей. Таким образом, линия регрессии Y по X совпадает с осью Ох (М_х(Y) = 0), а линия регрессии X по Y – с осью Оу (М_у(Х) = 0).

Найдем условную дисперсию D_x(Y):

(Тот же результат можно получить проще – по формуле дисперсии равномерного закона распределения:

)

Аналогично

Таким образом, по мере удаления от начала координат дисперсия условных распределений уменьшается от 1/3 до 0.

Пример 5.4

По данным примера 5.2 определить ковариацию и коэффициент корреляции случайных величин Х и Y.

Решение

В примере 5.2 были получены следующие законы распределения одномерных случайных величин:

X:	xi	1	2
	pi	0,8	0,2

и

Y:	yj	-1	0	1	2
	pj	0,2	0,3	0,3	0,2

Найдем математические ожидания и средние квадратические отклонения этих случайных величин:

,