Решение задач по теории вероятности (стр. 12 из 16)
, 
Для нахождения математического ожидания M(XY) произведения случайных величин X и Y можно было составить закон распределения произведения двух дискретных случайных величин (с вероятностями его значений из табл. 5.2), а затем по нему найти M(XY)
Закон распределения (XY) имеет вид:
| (хy)k | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 4 |
| pk | 0,1 | 0,1 | 0,3 | 0,3 | 0,15 | 0,05 |
Но делать это вовсе не обязательно. M(XY) Можно найти непосредственно по табл. 5.2 распределения двумерной случайной величины (X,Y) по формуле:
,где двойная сумма означает суммирование по всем nm клеткам таблицы (n – число строк, m – число столбцов):
Вычислим ковариациюKxy по формуле:
Kxy =
– axay = 0,5-1,2*0,5 = -0,1.Вычислим коэффициент корреляции ρ по формуле:
т.е. между случайными величинами X и Y существует отрицательная линейная зависимость; следовательно, при увеличении (уменьшении) одной из случайных величин другая имеет некоторую тенденцию уменьшаться (увеличиваться).
Пример 5.5
По данным примера 5.3 определить:
а) ковариацию и коэффициент корреляции случайных величин X и Y;
б) коррелированы или некоррелированы эти случайные величины.
Решение
а) Вначале найдем математические ожидания ах= М{Х) и ay= M(Y) по формулам:
Аналогично ау= 0 (то, что ах= ау = 0, очевидно из соображения симметрии распределения в круге, из которой следует, что центр его массы лежит в начале координат).
По формуле (5.34) ковариация:
Соответственно коэффициент корреляции
.б) Так как р = 0, то случайные величины X и Y некоррелированы. Убеждаемся в том, что из некоррелированности величин еще не вытекает их независимость.
Пример 5.6
Найти плотность вероятности случайной величины Y = 1-X3, где случайная величина X распределена по закону Коши с плотностью вероятности
.Решение
По условию y = f(x) = 1-x3, откуда
. Производная (по абсолютной величине): 
.Плотность вероятности:
Пример 5.7
Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Y = 2-3sinX, если плотность вероятности случайной величины X есть φ(х) =
cosX на отрезке [-π/2, π/2].Решение
По формуле (5.57)
Дисперсия D(Y) = M(Y2) –
: 
.Пример 5.8
Найти закон распределения суммы двух случайных величин, распределенных равномерно на отрезке [0; 1].
Решение
Пусть Z = X+Y, где φ1(x)= 1 при 0 ≤ х ≤ 1 и φ2(у) = 1 при 0 ≤ у ≤ 1.
По формуле (5.49) плотность вероятности:
Если z < 0, то для 0 ≤ x ≤ 1 z-x < 0; если z > 2, то для 0 ≤ x ≤ 1 z-x > 1, следовательно, в этих случаях φ2(z-x) = 0 и φ(z) = 0.
Пусть 0 ≤ z ≤ 2. Подынтегральная функция φ2(z-x) будет отлична от нуля только для значений х, при которых 0 ≤ z - x ≤ 1 или, что то же самое, при z -1 ≤ x ≤ z.
Если 0 ≤ z ≤ 1, то
.Если 1 ≤ z ≤ 2, то
.Объединяя все случаи, получим:
(5.60)Закон распределения (5.60) называется законом распределения Симпсона или законом равнобедренного треугольника (рис. 5.16).
Вычисление φ(z) можно было провести и иначе: вначале найти функцию распределения F(z), а затем – ее производную, т.е. φ(z) = F'(z). Преимущество такого подхода состоит в возможности использования геометрической интерпретации функции F(z) как площади SDобласти D – части квадрата (со стороной, равной 1), лежащей левее и ниже прямой у = z - х (рис. 5.17).
 |
Действительно (см. рис. 5.17), при 0 ≤ z ≤ 1 SD= z2/2 (площадь заштрихованного треугольника со стороной z), а при 1 ≤ z ≤ 2 SD = 1 - (2 - z)2/2 (площадь квадрата без площади незаштрихованного треугольника, сторона которого, как нетрудно показать, равна (2 – z). Следовательно,
и выражение (5.60) для φ(z) получается дифференцированием F(z).
Задания
5.1. Закон распределения двумерной дискретной случайной величины (X,Y) задан в табл. 5.3.
Таблица 5.3
| yi xi | 0 | 1 | 2 | 3 |
| -1 | 0,02 | 0,03 | 0,09 | 0,01 |
| 0 | 0,04 | 0,20 | 0,16 | 0,10 |
| 1 | 0,05 | 0,10 | 0,15 | 0,05 |
Найти:
а) законы распределения одномерных случайных величин Х и Y;
б) условные законы распределения случайной величины X при условии Y = 2 и случайной величины Y при условии Х = 1;
в) вероятность P(Y > X).
5.2. Рассматривается двумерная случайная величина (X,Y), где X – поставка сырья, Y – поступление требования на него. Известно, что поступление сырья и поступление требования на него могут произойти в любой день месяца (30 дней) с равной вероятностью. Определить:
а) выражение совместной плотности и функции распределения двумерной случайной величины (Х,У),
б) плотности вероятности и функции распределения одномерных составляющих X и Y;
в) зависимы или независимы X и Y;
г) вероятности того, что поставка сырья произойдет до и после поступления требования.
5.3. Двумерная случайная величина (X,Y) распределена равномерно внутри квадрата R с центром в начале координат. Стороны квадрата равны корень2 и составляют углы 45° с осями координат. Определить:
а) выражение совместной плотности двумерной случайной величины (X,Y);
б) плотности вероятности одномерных составляющих X и Y;
в) их условные плотности;
г) зависимыили независимы Х и Y.
5.4. Даны плотности вероятности независимых составляющих двумерной случайной величины (X,Y):
Найти выражение совместной плотности и функции распределения двумерной случайной величины.
В примерах 5.14–5.16 определить:
а) ковариацию и коэффициент корреляции случайных величин X и Y,
б) коррелированы или некоррелированы эти случайные величины.
5.5. Использовать данные примера 5.10.
5.6. Использовать данные примера 5.11.
5.7. Использовать данные примера 5.12.
5.8. Случайная величина X распределена на всей числовой оси с плотностью вероятности φ(х) = 0,5е-│Х│. Найти плотность вероятности случайной величины Y = X2и ее математическое ожидание.