Решение задач по теории вероятности (стр. 15 из 16)

6.14. Сколько нужно произвести измерений, чтобы с вероятностью, равной 0,9973, утверждать, что погрешность средней арифметической результатов этих измерений не превысит 0,01, если измерение характеризуется средним квадратическим отклонением, равным 0,03?

7 ГЛАВА

Элементы теории случайных процессов и теории массового обслуживания

В главе рассматриваются:

- определение случайного процесса и его характеристики, понятие марковского случайного процесса;

- основные понятия теории массового обслуживания;

- потоки событий;

- уравнение Колмогорова;

- СМО с отказами;

- метод Монте-Карло.

Типовые задачи

Пример 7.1

Случайный процесс определяется формулой X(t) = Xcoswt, где X – случайная величина. Найти основные характеристики этого процесса, если М(Х) = а, D(X) = а².

Решение

На основании свойств математического ожидания и дисперсии имеем:

Корреляционную функцию найдем по формуле (7.1):

Нормированную корреляционную функцию найдем по формуле (7.2):

Пример 7.2

Построить граф состояний следующего случайного процесса: устройство S состоит из двух узлов, каждый из которых в случайный момент времени может выйти из строя, после чего мгновенно начинается ремонт узла, продолжающийся заранее неизвестное случайное время.

Решение

Возможные состояния системы: S₀– оба узла исправны; S₁– первый узел ремонтируется, второй исправен; S₂ – второй узел ремонтируется, первый исправен; S₃ - оба узла ремонтируются. Граф системы приведен на рис. 7.4.

Стрелка, направленная, например, из S₀ в S₁, означает переход системы в момент отказа первого узла, из S₁в S₀– переход в момент окончания ремонта этого узла.

На графе отсутствуют стрелки из S₀в S₃ и из S₁в S₂. Это объясняется тем, что выходы узлов из строя предполагаются независимыми друг от друга и, например, вероятностью одновременного выхода из строя двух узлов (переход из S₀ в S₃) или одновременного окончания ремонтов двух узлов (переход из S₃ в S₀) можно пренебречь.

Пример 7.3

На автоматическую телефонную станцию поступает простейший поток вызовов с интенсивностью альфа = 1,2 вызовов в минуту. Найти вероятность того, что за две минуты:

а) не придет ни одного вызова;

б) придет ровно один вызов;

в) придет хотя бы один вызов.

Решение

а) Случайная величина X – число вызовов за две минуты – распределена по закону Пуассона с параметром λτ = 1,2*2 = 2,4. Вероятность того, что вызовов не будет (m = 0), по формуле (7.5):

.

б) Вероятность одного вызова (m = 1):

.

в) Вероятность хотя бы одного вызова:

.

Пример 7.4

Найти предельные вероятности для системы S из примера 7.2, граф состояний которой приведен на рис. 7.4, при λ₀₁ = 1, λ₀₂ = 2, λ₁₀ = 2, λ₁₃ = 2, λ₂₀ = 3, λ₂₃ = 1, λ₃₁ = 3, λ₃₂ = 2.

Решение

Система алгебраических уравнений, описывающих стационарный режим для данной системы, имеет вид (7.14) или

(7.15)

(Здесь вместо одного «лишнего»уравнения системы (7.14) записали нормировочное условие(7.12).)

Решив систему (7.15), получим p₀ = 0,40, p₁ = 0,20, p₂ = 0,27, p₃ = 0,13, т.е. в предельном стационарном режиме системе S в среднем 40% времени будет находиться в состоянии S₀ (оба узла исправны), 20% - в состоянии S₁ (первый узел ремонтируется, второй работает), 27% - в состоянии S₂ (второй узел ремонтируется, первый работает) и 13% времени – в состоянии S₃ (оба узла ремонтируются).

Пример 7.5

Найти средний чистый доход от эксплуатации в стационарном режиме системы S в условиях примеров 7.2 и 7.4, если известно, что в единицу времени исправная работа первого и второго узлов приносит доход соответственно в 10 и 6 ден. ед., а их ремонт требует затрат соответственно в 4 и 2 ден. ед. Оценить экономическую эффективность имеющейся возможности уменьшения вдвое среднего времени ремонта каждого из двух узлов, если при этом придется вдвое увеличить затраты на ремонт каждого узла (в единицу времени).

Решение

Из примера 7.4 следует, что в среднем первый узел исправно работает долю времени, равную p₀+ р₂ = 0,40 + 0,27 = 0,67, а второй узел – p₀ + р₁ = 0,40 + 0,20 = 0,60. в то же время первый узел находится в ремонте в среднем долю времени, равную р₁ + р₃ = 0,20 + 0,13 = 0,33, а второй узел – р₂+р₃= =0,27+0,13=0,40. Поэтому средний чистый доход в единицу времени от эксплуатации системы, т.е. разность между доходами и затратами, равен

D = 0,67*10+0,60*6-0,33*4-0,40*2 = 8,18 ден. ед.

Уменьшение вдвое среднего времени ремонта каждого из узлов в соответствии с (7.10) будет означать увеличение вдвое интенсивностей потока «окончаний ремонтов» каждого узла, т.е. теперь λ₁₀ = 4, λ₂₀ = 6, λ₃₁ = 6, λ₃₂ = 4 и система линейных алгебраических уравнений (7.14), описывающая стационарный режим системы S, вместе с нормировочным условием (7.12) примет вид:

Решив систему, получим р₀ = 0,60, р₁ = 0,15, р₂ =0,20, р₃ = 0,05.

Учитывая, что р₀ + р₂ =0,60 + 0,20 = 0,80, р₀ + р₁ = 0,60 + 0,15 = 0,75, р₁ + р₃ = 0,15 + 0,05 = 0,20, р₂ + р₃ = 0,20 + 0,05 = 0,25, а затраты на ремонт первого и второго узлов составляют теперь соответственно 8 и 4 ден. ед., вычислим средний чистый доход в единицу времени:

D₁= 0,80*10+0,75*6-0,20*8-0,25*4 = 9,9 ден. ед.

Так как D₁больше D (примерно на 20%), то экономическая целесообразность ускорения ремонтов узлов очевидна.

Пример 7.6

Процесс гибели и размножения представлен графом (рис.7.8). Найти предельные вероятности состояний.

Решение

По формуле (7.20) найдем

,

по (7.21)

, ,

т.е. в установившемся стационарном режиме в среднем 70,6% времени система будет находится в состоянии S₀, 17,6% - в состоянии S₁и 11,8% - в состоянии S₂.

Пример 7.7

Известно, что заявки на телефонные переговоры в телевизионном ателье поступают с интенсивностью Я, равной 90 заявок в час, а средняя продолжительность разговора по телефону t_o6 – 2 мин. Определить показатели эффективности работы СМО (телефонной связи) при наличии одного телефонного номера.

Решения

Имеем λ = 90 (1/ч), t_об = 2 мин. Интенсивность потока обслуживаний μ = 1/ t_об = 1/2 = 0,5 (1/мин) = 30 (1/ч). По (7.24) относительная пропускная способность СМО Q = 30/(90+30) = 0,25, т.е. в среднем только 25% поступающих заявок осуществят переговоры по телефону. Соответственно вероятность отказа в обслуживании составит P_ОТК=0,75 (см. (7.25)). Абсолютная пропускная способность СМО по (7.26) A=90*0,25=22,5, т.е. в среднем в час будут обслужены 22,5 заявки на переговоры. Очевидно, что при наличии только одного телефонного номера

СМО будет плохо справляться с потоком заявок.

Пример 7.8

В условиях примера 7.7 определить оптимальное число телефонных номеров в телевизионном ателье, если условием оптимальности считать удовлетворение из каждых 100 заявок на переговоры в среднем не менее 90 заявок.

Решение

Интенсивность нагрузки канала по формуле (7.28) р=90/30=3, т.е. за время среднего (по продолжительности) телефонного разговора tоб = 2 мин поступает в среднем 3 заявки на переговоры.

Будем постепенно увеличивать число каналов (телефонных номеров) п = 2, 3, 4,... и определим по формулам (7.29), (7.32), (7.33) для получаемой n-канальной СМО характеристики обслуживания. Например, при п = 2 p_o=(1 + 3 + 3²/2!)^-1 = 0,118 ≈ 0,12;

Q = 1-(3²/2!)*0,118 ≈ 0,471; А = 90*0,471 = 42,4.

Значение характеристик СМО сведем в табл. 7.1.

Таблица 7.1

Характеристика обслуживания	Обозначение	Число каналов (телефонных номеров)
		1	2	3	4	5	6
Относительная пропускная способность	Q	0,25	0,47	0,65	0,79	0,90	0,95
Абсолютная пропускная способность	A	22,5	42,4	58,8	71,5	80,1	85,3

По условию оптимальности Q ≥ 0,9, следовательно, в телевизионном ателье необходимо установить 5 телефонных номеров (в этом случае Q = 0,90 – см. табл. 7.1). При этом в час будут обслуживаться в среднем 80 заявок (А = 80,1), а среднее число занятых телефонных номеров (каналов) по формуле (7.34)

= 80, 1/30 = 2,67.