Решение задач по теории вероятности (стр. 16 из 16)
Пример 7.9
В вычислительный центр коллективного пользования с тремя ЭВМ поступают заказы от предприятий на вычислительные работы. Если работают все три ЭВМ, то вновь поступающий заказ не принимается, и предприятие вынуждено обратиться в другой вычислительный центр. Среднее время работы с одним заказом составляет 3 ч. Интенсивность потока заявок 0,25 1/ч. Найти предельные вероятности состояний и показатели эффективности работы вычислительного центра.
Решение
По условию п=3, λ=0,25 (1/ч), to6=3 (ч). Интенсивность потока обслуживаний μ=1/to6=1/3=0,33. Интенсивность нагрузки ЭВМ по формуле (7.28) р=0,25/0,33=0,75. Найдем предельные вероятности состояний:
по формуле (7.29):
p0=(1+0,75+0,752/2!+0,753/3!)-1=0,476;
по формуле (7.30):
p1 = 0,75*0,476 = 0,357; p2 = (0,752/2!)*0,476 = 0,134; p3 = (0,753/3!)*0,476 = 0,033,
т.е. в стационарном режиме работы вычислительного центра в среднем 47,6% времени нет ни одной заявки, 35,7% – имеется одна заявка (занята одна ЭВМ), 13,4% – две заявки (две ЭВМ), 3,3% времени – три заявки (заняты три ЭВМ).
Вероятность отказа (когда заняты все три ЭВМ), таким образом, Р0ТК = р3 = 0,033.
Согласно формуле (7.32) относительная пропускная способность центра Q = 1 – 0,033 = 0,967, т.е. в среднем из каждых 100 заявок вычислительный центр обслуживает 96,7 заявок.
По формуле (7.33) абсолютная пропускная способность центра А = 0,250,967 = 0,242, т.е. в один час в среднем обслуживается 0,242 заявки.
Согласно формуле (7.34) среднее число занятых ЭВМ к = = 0,242/0,33 = 0,725, т.е. каждая из трех ЭВМ будет занята обслуживанием заявок в среднем лишь на 72,5/3 = 24,2%.
При оценке эффективности работы вычислительного центра необходимо сопоставить доходы от выполнения заявок с потерями от простоя дорогостоящих ЭВМ (с одной стороны, здесь высокая пропускная способность СМО, а с другой – значительный простой каналов обслуживания) и выбрать компромиссное решение.
Задания
7.1. Случайный процесс определяется формулой X(t)= Хе(-t) (t > 0), где X – случайная величина, распределенная по нормальному закону с параметрами а и а2. Найти математическое ожидание, дисперсию, корреляционную и нормированную корреляционную функции случайного процесса.
7.2. Построить граф состояний следующего случайного процесса: система состоит из двух автоматов по продаже газированной воды, каждый из которых в случайный момент времени может быть либо занятым, либо свободным.
7.3. Построить граф состояний системы S, представляющей собой электрическую лампочку, которая в случайный момент времени может быть либо включена, либо выключена, либо выведена из строя.
7.4. Среднее число заказов на такси, поступающих на диспетчерский пункт в одну минуту, равно 3. Найти вероятность того, что за две минуты поступит:
а) 4 вызова;
б) хотя бы один;
в) ни одного вызова.
(Поток заявок простейший.)
7.5. Найти предельные вероятности для систем S, граф которых изображен на рис. 7.11 и 7.12.
7.6. Рассматривается круглосуточная работа пункта проведения профилактического осмотра автомашин с одним каналом (одной группой проведения осмотра). На осмотр и выявление дефектов каждой машины затрачивается в среднем 0,5 ч. На осмотр поступает в среднем 36 машин в сутки. Потоки заявок и обслуживаний – простейшие. Если машина, прибывшая в пункт осмотра, не застает ни одного канала свободным, она покидает пункт осмотра необслуженной. Определить предельные вероятности состояний и характеристики обслуживания профилактического пункта осмотра.
7.7. Решить задачу 7.15 для случая п = 4 канала (групп проведения осмотра). Найти минимальное число каналов, при котором относительная пропускная способность пункта осмотра будет не менее 0,9.
7.8. Одноканальная СМО с отказами представляет собой одну телефонную линию, на вход которой поступает простейший поток вызовов с интенсивностью 0,4 вызовов/мин. Средняя продолжительность разговора 3 мин.; время разговора имеет показательное распределение. Найти предельные вероятности состояний и характеристики обслуживания СМО. Сравнить пропускную способность СМО с номинальной, которая была бы, если разговор длился в точности 3 мин., а заявки шли одна за другой регулярно, без перерывов.
7.9. Имеется двухканальная простейшая СМО с отказами. На ее вход поступает поток заявок с интенсивностью 4 заявки/ч. Среднее время обслуживания одной заявки 0,8 ч. Каждая обслуженная заявка приносит доход 4 ден. ед. Содержание каждого канала обходится 2 ден. ед./ч. Выяснить, выгодно или невыгодно в экономическом отношении увеличить число каналов до трех.
Задания по вариантам
| Варианты | Главы | ||||||
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | |
| 1 | 1 | 15 | 28 | 8.2 | 25 | 3 | 9 |
| 2 | 3 | 11 | 18 | 9 | 16 | 14 | 2 |
| 3 | 6 | 19.a | 30 | 2 | 12 | 2.a | 4.a |
| 4 | 10 | 22.a | 6 | 14 | 4 | 9 | 7 |
| 5 | 14 | 24 | 1 | 18 | 11 | 13 | 6 |
| 6 | 19 | 9 | 13 | 3.ав | 23 | 5 | 8 |
| 7 | 21 | 5 | 17 | 17 | 3 | 2.б | 5 |
| 8 | 2 | 18 | 9 | 10 | 30 | 12 | 3 |
| 9 | 9 | 17 | 29 | 6.1 | 28 | 1 | 2 |
| 10 | 16 | 23 | 3 | 16.б | 13 | 7 | 4.в |
| 11 | 23 | 1 | 12 | 14 | 5 | 11.а | 1 |
| 12 | 7 | 14 | 25 | 3.бв | 24 | 13 | 9 |
| 13 | 4 | 21 | 14 | 20 | 2 | 2.б | 8 |
| 14 | 11 | 15 | 21 | 4 | 17 | 6 | 3 |
| 15 | 20 | 8 | 19 | 6.2 | 9 | 13 | 4.б |
| 16 | 8 | 22.б | 7 | 19 | 10 | 3 | 5 |
| 17 | 12 | 20 | 26 | 1 | 20 | 8 | 2 |
| 18 | 5 | 16 | 8 | 15 | 6 | 14 | 7 |
| 19 | 15 | 13.б | 24 | 5.ав | 21 | 9 | 1 |
| 20 | 18 | 2 | 11 | 20 | 1 | 14 | 4.а |
| 21 | 26 | 5 | 15 | 2 | 29 | 4 | 5 |
| 22 | 22 | 10 | 20 | 7 | 14 | 11.б | 9 |
| 23 | 13 | 19.б | 23 | 11 | 22 | 10 | 1 |
| 24 | 17 | 23 | 2 | 16.а | 26 | 7 | 3 |
| 25 | 24 | 6 | 27 | 12 | 18 | 2.а | 8 |
| 26 | 28 | 3 | 10 | 5.бв | 15 | 4 | 4.а |
| 27 | 25 | 12 | 4 | 19 | 8 | 1 | 6 |
| 28 | 30 | 4 | 16 | 13 | 27 | 2.б | 7 |
| 29 | 29 | 7 | 22 | 8.1 | 19 | 11.а | 4.а |
| 30 | 27 | 13.а | 5 | 15 | 7 | 3 | 9 |