Решение задач по теории вероятности (стр. 5 из 16)
2.21. Вероятность того, что дилер, торгующий ценными бумагами, продаст их, равна 0,7. Сколько должно быть ценных бумаг, чтобы можно было утверждать с вероятностью 0,996, что доля проданных среди них отклонится от 0,7 не более, чем на 0,04 (по абсолютной величине)?
2.22. У страховой компании имеются 10 000 клиентов. Каждый из них, страхуясь от несчастного случая, вносит 500 руб. Вероятность несчастного случая 0,0055, а страховая сумма, выплачиваемая пострадавшему, составляет 50 000 руб. Какова вероятность того, что:
а) страховая компания потерпит убыток;
б) на выплат страховых сумм уйдет более половины всех средств поступивших от клиентов?
2.23. Первый прибор состоит из 10 узлов, второй из 8 узлов. За время t каждый из узлов первого прибора выхода из строя, независимо от других, с вероятностью 0,1, второго – с вероятностью 0,2. Найти вероятность того, что за время t в первом приборе выйдет из строя хотя бы один узел, а во втором – по крайней мере два узла.
2.24. Студент рассматриваемого вуза по уровню подготовленности с вероятностью 0,3 является «слабым», с вероятностью 0,5 – «средним», с вероятностью 0,2 – «сильным». Какова вероятность того, что из наудачу выбранных 6 студентов вуза:
а) число «слабых», «средних» и «сильных» окажется одинаковым;
б) число «слабых» и «сильных» окажется одинаковым?
3 ГЛАВА
Случайные величины
В главе рассматриваются:
- понятие случайной величины, непрерывной случайной величины;
- закон распределения дискретной случайной величины;
- математическое ожидание дискретной случайной величины;
- дисперсия дискретной случайной величины;
- функция распределения случайной величины;
- плотность вероятности;
- мода, медиана, квантили и моменты случайных величин.
Типовые задачи
Пример 3.1
По многолетним статистическим данным известно, что вероятность рождения мальчика равна 0,515. Составить закон распределения случайной величины X – числа мальчиков в семье из 4 детей. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
Решение
Число мальчиков в семье из п = 4 представляет случайную величину Х с множеством значений X= т = 0, 1, 2, 3, 4, вероятности которых определяются по формуле Бернулли:
, где q = 1-pВ нашем случае n = 4, p = 0,515, q = 1-p = 0,485
Вычислим
; 
; 
; 
; 
.(Здесь учтено, что
= 1, 
= 4, 
, 
, 
= 1)Ряд распределения имеет вид
| X = m | xi | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| pi | 0,055 | 0,235 | 0,375 | 0,265 | 0,070 |
Убеждаемся, что
Математическое ожидание М{Х) и дисперсию D(X) можно найти, как обычно, по формулам (3.3) и (3.11). Но в данном случае, учитывая, что закон распределения случайной величины X биномиальный, можно воспользоваться простыми формулами (4.2) и (4.3):
M(X) = np = 4*0,515 = 2,06,
D(X) = npq = 4*0,515*0,485 = 0,999.
Пример 3.2
Радист вызывает корреспондента, причем каждый последующий вызов производится лишь в том случае, если предыдущий вызов не принят. Вероятность того, что корреспондент примет вызов, равна 0,4. Составить закон распределения числа вызовов, если:
а) число вызовов не более 5;
б) число вызовов не ограничено.
Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
Решение:
а) Случайная величина X – число вызовов корреспондента – может принимать значения 1, 2, 3, 4, 5. Обозначим событие Ai – i-й вызов принят (i = 1, 2, 3, 4, 5). Тогда вероятность того, что первый вызов принят, P(X=1)=P(A1)=0,4.
Второй вызов состоится лишь при условии, что первый вызов не принят, т.е.
Аналогично
Пятый вызов при любом исходе (будет принят, не принят) I последний. Поэтому
(Вероятность Р(Х=5) можно найти и иначе, учитывая, что последний вызов будет или принят, или нет, т.е.
)Ряд распределения случайной величины X имеет вид
| X: | xi | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| pi | 0,4 | 0,24 | 0,144 | 0,0864 | 0,1296 |
Проверяем, что
По формуле (3.3) вычислим математическое ожидание:
Так как M(X) – нецелое число, то находить дисперсию D(X) проще не по основной формуле (3.11), а по формуле (3.16), т.е. D(X) = M(X2) – а2.
Вычислим
Теперь D(X) = 7,2784 – 2,30562 = 1,9626
б) Так как число вызовов не ограничено, то ряд распределения случайной величины Х примет вид
| X: | xi | 1 | 2 | 3 | 4 | … | n | … |
| pi | 0,4 | 0,24 | 0,144 | 0,0864 | … | 0,6n-1*0,4 | … |
Проверяем, что
(использовали формулу суммы сходящегося (│q│< 1) геометрического ряда:
при a = 1, q= 0,6)По формуле (3.4) вычислим математическое ожидание
Для вычисления суммы полученного ряда воспользуемся формулой:
(т.е. сумма данного ряда является производной сходящегося геометрического ряда при│q│=│x│<1). При х = 0,6.
, т.е. M(X) = 0,4*6,25 = 2,5По формуле (3.12) вычислим дисперсию: D(X) = M(X2) – a2.
Вначале найдем
Для вычисления суммы полученного ряда рассмотрим сумму ряда
S1(x) при │х│< 1:
S1(x) при х = 0,6:
, т.е. M(X2) = 0,4*25=10Теперь D(X) = 10-2,52 = 3,75.
Пример 3.3
Среди 10 изготовленных приборов 3 неточных. Составить закон распределения числа неточных приборов среди взятых наудачу четырех приборов. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
Решение
Случайная величина X – число неточных приборов среди четырех отобранных – может принимать значения i - 0, 1, 2, 3.
Общее число способов выбора 4 приборов из 10 определяется числом сочетаний
. Число способов выбора четырех приборов, среди которых i неточных приборов и 4-i точных (i = 0, 1, 2, 3), по правилу произведения определится произведением числа способов выбора i неточных приборов из 3 неточных 
на число способов выбора 4-i точных приборов из 7 точных 
, т.е. 
* . Согласно классическому определению вероятности