Решение задач по теории вероятности (стр. 6 из 16)

(i = 0, 1, 2, 3).

Учитывая, что

= 1, = 3, = = 3, = 1,

, , ,

.

Вычислим

т.е. ряд распределения будет такой:

X:	xi	0	1	2	3
	pi	1/6	1/2	3/10	1/30

Убеждаемся в том, что

Математическое ожидание M(X) и дисперсию D(X) вычисляем по формулам (3.3) и (3.16):

,

и

.

Пример 3.4

Ряд распределения дискретной случайной величины состоит из двух неизвестных значений. Вероятность того, что случайная величина примет одно из этих значений, равна 0,8. Найти функцию распределения случайной величины, если ее математическое ожидание равно 3,2, а дисперсия 0,16.

Решение

Ряд распределения имеет вид

X:	xi	x1	x2
	pi	0,8	0,2

,

где p_i = 0,8, а p₂ = 1-p₁ = 1-0,8 = 0,2.

По условию

или

Решая полученную систему, находим два решения:

и

Записываем выражение функции распределения:

или

Пример 3.5

Рабочий обслуживает 4 станка. Вероятность того, что в течение часа станок не потребует внимания рабочего, для первого станка равна 0,9, для второго – 0,8, для третьего -0,75 и для четвертого – 0,7. Составить закон распределения случайной величины X – числа станков, которые не потребуют внимания рабочего в течение часа.

Решение

Задача может быть решена несколькими способами.

Первый способ: Пусть

– событие, состоящее в том, что k-й станок не потребует (потребует) внимания рабочего в течении часа. Тогда, очевидно:

;

.

Аналогично находим

;

,

т.е. закон (ряд) распределения случайной величины Х имеет вид:

X:	xi	0	1	2	3	4
	pi	0,0015	0,0275	0,1685	0,4245	0,378

(3.38)

Второй способ состоит в том, что заданы законы (ряды) распределения альтернативных случайных величин X_k(k=1,2,3,4), выражающих число станков, не потребующих внимания рабочего в течение часа (это число для каждого станка равно 1, если этот станок не потребует внимания рабочего, и равно 0, если потребует):

X₁: X₂: X₃: X₄:

xi	0	1		xi	0	1		xi	0	1		xi	0	1
pi1	0,1	0,9		pi2	0,2	0,8		pi3	0,25	0,75		pi4	0,3	0,7

Необходимо найти закон распределения суммы этих случайных величин, т.е. Х = Х₁ + Х₂ + Х₃ + Х₄. Суммируя последовательно Х₁ + Х₂ = Z, Х₁ + Х₂ + Х₃ = Z + X₃ = U, Х₁ + Х₂ + Х₃ + Х₄ = U + X₄ = X, получим

Z = Х₁ + Х₂:

zi	0	1	2
pi	0,02	0,26	0,2

U = Z + X₃:

um	0	1	2	3
pm	0,005	0,08	0,375	0,54

и, наконец, распределение X = U + X₄, т.е. получили (3.38).

Третий способ: Распределение Х можно получить чисто механически, перемножив биномы (двучлены):

, (3.39)

причем каждый из пяти полученных коэффициентов при z^k(k = 0, 1, 2, 3, 4) в функции φ₄(z) будет выражать соответствующие вероятности P(X = k). Действительно, преобразовав (3.39), получим

,

где коэффициенты – это вероятности значений случайной величины Х (3.38).

Пример 3.6

В 1-й урне содержится 6 белых и 4 черных шара, а во 2-й –3 белых и 7 черных шаров. Из 1-й урны берут на удачу два шара и перекладывают во 2-ю урну, а затем из 2-й урны берут наудачу один шар и перекладывают в 1-ю урну. Составить законы распределения числа белых шаров в 1-й и 2-й урнах.

Решение

Найдем закон распределения случайной величины X – числа белых шаров в 1-й урне.

Пусть Ai(

) – событие, состоящее в извлечении из первой урны i-го белого (черного) шара (i = 1, 2), а В( ) - извлечение из 2-й урны белого (черного) шара после того, как в нее из 1-й урны переложили два извлеченных шара. В соответствии с условием число X белых шаров в 1-й урне может быть равным 4, 5, 6 или 7. Вероятность того, что в 1-й урне останется 4 белых шара, будет равна вероятности совместного осуществления трех событий: из 1-й урны извлечены первый шар -белый, второй шар – белый, из 2-й урны извлечен черный шар (после того как в нее переложили два белых шара), т.е.

Рассуждая аналогично, получим