Решение задач по теории вероятности (стр. 7 из 16)
; 
; 
.Итак, закон распределения
| X: | xi | 4 | 5 | 6 | 7 |
| pi | 7/36 | 89/180 | 5/18 | 1/30 |
Убеждаемся в том, что
Распределение числа Y белых шаров во 2-й урне можно найти аналогично, но проще это сделать, если учесть, что X+Y=9 (при любых значениях xi и yj). Поэтому закон распределения случайной величины Y = 9-X есть
| Y: | yj | 2 | 3 | 4 | 5 |
| pj | 1/30 | 5/18 | 89/180 | 7/36 |
Пример 3.7
Дана функция распределения случайной величины X:
а) найти плотность вероятности φ(х);
б) построить графики φ(х) и F(x);
в) убедится в том, что Х – непрерывная случайная величина;
г) найти вероятности P(X = 1), P(X < 1), P(1 ≤ X < 2) (две последние вероятности показать на графиках φ(х) и F(x));
д) вычислить математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X), моду M0(X) и медиану Me(X).
Решение
а) Плотность вероятности
б) Графики φ(x) и F(x) изображены на рис.3.20 a и б.
в) Случайная величина X – непрерывная, так как функция распределения F(x) непрерывна, а ее производная – плотность вероятности φ(x) – непрерывна во всех точках, кроме одной (х = 2).
г) Р(Х = 1) = 0 как вероятность отдельно взятого значения непрерывной случайной величины.
Р(Х < 1) можно найти либо по определению функции распределения, либо по формуле (3.21) через плотность вероятности φ(x):
(ордината графика F(1) – см. рис. 3.20б)или
(площадь под кривой распределения φ(x) на отрезке [0,1] – см.рис.3.20а).
 |
Р(1≤ X ≤ 2) можно найти либо как приращение функции распределения по формуле (3.20), либо по формуле (3.22) через
(приращение ординаты графика F(x) на отрезке [1,2] – рис.3.20б) – или
(площадь под кривой распределения φ(x) на отрезке [1,2] – рис. 3.20а)
д) По формуле (3.25) математическое ожидание
плотность вероятности φ(x).
Если представить распределение случайной величины Х в виде единичной массы, распределенной по треугольнику (рис. 3.20а), то значение М(Х)=4/3 означает абсциссу центра массы треугольника.
По формуле (3.27) дисперсия D(X) = M(X2) – a2.
Теперь
Плотность вероятности φ(x) максимальна при х = 2 (см. рис. 3.20а), следовательно, М0(Х) = 2.
Медиану Ме(Х) = b найдем из условия F(b) =
, т.е. 
, откуда b = Me(X) = 
, или через плотность вероятности 
, т.е. 
, откуда b = Me(X) = Задания
3.1. Вероятность поражения вирусным заболеванием куста земляники равна 0,2. Составить закон распределения числа кустов земляники, зараженных вирусом, из четырех посаженных кустов.
3.2. Стрелок ведет стрельбу по цели с вероятностью попадания при каждом выстреле 0,2. За каждое попадание он получает 5 очков, а в случае промаха очков ему не начисляют. Составить закон распределения числа очков, полученных стрелком за 3 выстрела, и вычислить математическое ожидание этой случайной величины.
3.3. В рекламных целях торговая фирма вкладывает в каждую десятую единицу товара денежный приз размером 1 тыс. руб. Составить закон распределения случайной величины – размера выигрыша при пяти сделанных покупках. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
3.4. Клиенты банка, не связанные друг с другом, не возвращают кредиты в срок с вероятностью 0,1. Составить закон распределения числа возвращенных в срок кредитов из 5 выданных. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.
3.5. Контрольная работа состоит из трех вопросов. На каждый вопрос приведено 4 ответа, один из которых правильный. Составить закон распределения числа правильных ответов при простом угадывании. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
3.6. В среднем по 10% договоров страховая компания выплачивает страховые суммы в связи с наступлением страхового случая. Составить закон распределения числа таких договоров среди наудачу выбранных четырех. Вычислить математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
3.7. В билете три задачи. Вероятность правильного решения первой задачи равна 0,9, второй – 0,8, третьей – 0,7. Составить закон распределения числа правильно решенных задач в билете и вычислить математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
3.8. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,8 и уменьшается с каждым выстрелом на 0,1. Составить закон распределения числа попаданий в цель, если сделано три выстрела. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.
3.9. Произведено два выстрела в мишень. Вероятность попадания в мишень первым стрелком равна 0,8, вторым – 0,7, Составить закон распределения числа попаданий в мишень. Найти математическое ожидание, дисперсию и функцию распределения этой случайной величины и построить ее график. (Каждый стрелок делает по одному выстрелу.)
3.10. Найти закон распределения числа пакетов трех акций, по которым владельцем будет получен доход, если вероятность получения дохода по каждому из них равна соответственно 0,5, 0,6, 0,7. Найти математическое ожидание и дисперсию данной случайной величины, построить функцию распределения.
3.11. Дан ряд распределения случайной величины:
| X: | xi | 2 | 4 |
| pi | p1 | p2 |
Найти функцию распределения этой случайной величины, если ее математическое ожидание равно 3,4, а дисперсия равна 0,84.
3.12. Из пяти гвоздик две белые. Составить закон распределения и найти функцию распределения случайной величины, выражающей число белых гвоздик среди двух одновременно взятых.
3.13. Из 10 телевизоров на выставке 4 оказались фирмы «Сони». Наудачу для осмотра выбрано 3. Составить закон распределения числа телевизоров фирмы «Сони» среди 3 отобранных.
3.14. Среди 15 собранных агрегатов 6 нуждаются в дополнительной смазке. Составить закон распределения числа агрегатов, нуждающихся в дополнительной смазке, среди пяти наудачу отобранных из общего числа.
3.15. В магазине продаются 5 отечественных и 3 импортных телевизора. Составить закон распределения случайной величины – числа импортных из четырех наудачу выбранных телевизоров. Найти функцию распределения этой случайной величины и построить ее график.
3.16. Вероятность того, что в библиотеке необходимая студенту книга свободна, равна 0,3. Составить закон распределения числа библиотек, которые посетит студент, если в городе 4 библиотеки. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
3.17. Экзаменатор задает студенту вопросы, пока тот правильно отвечает. Как только число правильных ответов достигнет четырех либо студент ответит неправильно, экзаменатор прекращает задавать вопросы. Вероятность правильного ответа на один вопрос равна 2/3. Составить закон распределения числа заданных студенту вопросов.