Решение задач по теории вероятности (стр. 8 из 16)

3.18. Торговый агент имеет 5 телефонных номеров потенциальных покупателей и звонит им до тех пор, пока не получит заказ на покупку товара. Вероятность того, что потенциальный покупатель сделает заказ, равна 0,4. Составить закон распределения числа телефонных разговоров, которые предстоит провести агенту. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

3.19. Каждый поступающий в институт должен сдать 3 экзамена. Вероятность успешной сдачи первого экзамена 0,9, второго – 0,8, третьего – 0,7. Следующий экзамен поступающий сдает только в случае успешной сдачи предыдущего. Составить закон распределения числа экзаменов, сдававшихся поступающим в институт. Найти математическое ожидание этой случайной величины.

3.20. Охотник, имеющий 4 патрона, стреляет по дичи до первого попадания или до израсходования всех патронов. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,6, при каждом последующем – уменьшается на 0,1. Необходимо:

а) составить закон распределения числа патронов, израсходованных охотником;

б) найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

3.21. Из поступивших в ремонт 10 часов 7 нуждаются в общей чистке механизма. Часы не рассортированы по виду ремонта. Мастер, желая найти часы, нуждающиеся в чистке, рассматривает их поочередно и, найдя такие часы, прекращает дальнейший просмотр. Составить закон распределения числа просмотренных часов. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

3.22. Имеются 4 ключа, из которых только один подходит к замку. Составить закон распределения числа попыток открывания замка, если испробованный ключ в последующих попытках не участвует. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.

3.23. Абонент забыл последнюю цифру нужного ему номера телефона, однако помнит, что она нечетная. Составить закон распределения числа сделанных им наборов номера телефона до попадания на нужный номер, если последнюю цифру он набирает наудачу, а набранную цифру в дальнейшем не набирает. Найти математическое ожидание и функцию распределения этой случайной величины.

3.24. Дана функция распределения случайной величины X

Найти:

а) ряд распределения;

б) М(Х) и D(X);

в) построить многоугольник распределения и график F(x).

3.25. Даны законы распределения двух независимых случайных величин

X:	xi	0	1	3
	pi	0,2	0,5	?

и

Y:	xi	2	3
	pi	0,4	?

Найти вероятности, с которыми случайные величины принимают значение 3, а затем составить закон распределения случайной величины ЗХ– 2Y и проверить выполнение свойств математических ожиданий и дисперсий: M(ЗХ- 2Y) = 3М(Х) - 2M(Y),D(ЗХ- 2Y) = 9D(X) + 4D(Y).

3.26. На двух автоматических станках производятся одинаковые изделия. Даны законы распределения числа бракованных изделий, производимых в течение смены на каждом из них:

а) для первого

X:	xi	0	1	2
	pi	0,1	0,6	0,3

б) для второго

Y:	xj	0	2
	pj	0,5	0,3

Необходимо:

а) составить закон распределения числа производимых в течение смены бракованных изделий обоими станками;

б) проверить свойство математического ожидания суммы случайных величин.

3.27. Одна из случайных величин задана законом распределения

xi	-1	0	1
pi	0,1	0,8	0,1

а другая имеет биномиальное распределение с параметрами п = 2, р = 0,6. Составить закон распределения их суммы и найти математическое ожидание этой случайной величины.

3.28. Случайные величины X и Y независимы и имеют один и тот же закон распределения:

Значение	1	2	4
Вероятность	0,2	0,3	0,5

Составить закон распределения случайных величин 2X и X+Y. Убедиться в том, что 2X ≠X+Y, но М(2Х) = M(X+Y).

3.29. По данным примера 3.52 убедиться в том, что X² ≠ XY . Проверить равенство M(XY) =[М(Х)]².

3.30. Два стрелка сделали по два выстрела по мишени. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,6, для второго – 0,7. Необходимо:

а) составить закон распределения общего числа попаданий;

б) найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

3.31. Пусть X, Y, Z – случайные величины: X – выручка фирмы, Y – ее затраты, Z = Х - Y – прибыль. Найти распределение прибыли Z, если затраты и выручка независимы и заданы распределениями:

X:	xi	3	4	5
	pi	1/3	1/3	1/3

Y:	yj	1	2
	pj	1/2	1/2

3.32. Пусть X – выручка фирмы в долларах. Найти распределение выручки в рублях Z=X*Y в пересчете по курсу доллара Y, если выручка X не зависит от курса Y, а распределения X и Y имеют вид

X:	xi	1000	2000
	pi	0,7	0,3

Y:	yj	25	27
	pj	0,4	0,6

3.33. Сделано два высокорисковых вклада: 10 тыс. руб. в компанию А и 15 тыс. руб. – в компанию В. Компания А обещает 50% годовых, но может «лопнуть» с вероятностью 0,2. Компания В обещает 40% годовых, но может «лопнуть» с вероятностью 0,15. Составить закон распределения случайной величины – общей суммы прибыли (убытка), полученной от двух компаний через год, и найти ее математическое ожидание.

3.34. Дискретная случайная величина X задана рядом распределения

X:	xi	1	2	3	4	5
	pi	0,2	0,3	0,3	0,1	0,1

Найти условную вероятность события X<5 при условии, что Х>2.

3.35. Случайные величины Х₁, Х₂независимы и имеют одинаковое распределение

xi	0	1	2	3
pi	1/4	1/4	1/4	1/4

а) Найти вероятность события X₁+X₂> 2.

б) Найти условную вероятность P_X1=1[(X₁ +X₂) > 2].

3.36. Распределение дискретной случайной величины X задано формулой р(Х = к) = Ск², где к = 1, 2, 3, 4, 5. Найти:

а) константу С;

б) вероятность события |Х– 2|<1.

4 ГЛАВА

Основные законы распределения

В главе рассматриваются:

- биноминальный, равномерный, показательный и нормальный законы распределения;

- закон распределения Пуассона;

- геометрическое и гипергеометрическое распределения;

- логарифмически-нормальное распределение.

Типовые задачи

Пример 4.1

В магазин поступила обувь с двух фабрик в соотношении 2:3. Куплено 4 пары обуви. Найти закон распределения числа купленных пар обуви, изготовленной первой фабрикой. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.