Решение задач по теории вероятности (стр. 9 из 16)
Решение
Вероятность того, что случайно выбранная пара обуви изготовлена первой фабрикой, равна
p=2/(2+3)=0,4.
Случайная величина X – число пар обуви среди четырех, изготовленных первой фабрикой, имеет биномиальный закон распределения с параметрами п = 4, р = 0,4. Ряд распределения X имеет вид:
| xi | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| pi | 0,1296 | 0,3456 | 0,3456 | 0,1536 | 0,0256 |
(Значения рi – Р(Х = т), (m = 0,1,2,3,4) вычислены по формуле
(4.1)Найдем математическое ожидание и дисперсию случайной величины X по формулам:
, 
Замечание
Нетрудно заметить, что полученное распределение двумодальное (имеющее две моды): Мо(Х)1=1 и Мо(Х)2=2, так как эти значения имеют наибольшие (и равные между собой) вероятности. Моду Мо(Х) – число целое – можно найти из неравенства:
4*0,4 - 0,6 ≤ Мо(Х) ≤ 4*0,4 + 0,4
или
1 ≤ Мо(Х) ≤ 2, т.е. Мо(Х)1 = 1 и Мо(Х)2 = 2.
Пример 4.2
По данным примера 4.1 найти математическое ожидание и дисперсию частости (доли) пар обуви, изготовленных первой фабрикой, среди 4 купленных.
Решение
Имеем n = 4, р = 0,4. Найдем математическое ожидание и дисперсию:
, 
Пример 4.3
Доказать, что сумма двух независимых случайных величин, распределенных по закону Пуассона с параметрами λ1 и λ2, также распределена по закону Пуассона с параметром λ = λ1 + λ2.
Решение
Пусть случайные величины Х = т и Y = n имеют законы распределения Пуассона соответственно с параметрами λ1 и λ2. В силу независимости случайных величин X и Y их сумма Z = X + Y принимает значение Z = s с вероятностью
Полагая, что λ = λ1 + λ2, и учитывая, что
,получим
,т.е. случайная величина Z = X + Y распределена по закону Пуассона с параметром λ = λ1 + λ2
Пример 4.4
Проводится проверка большой партии деталей до обнаружения бракованной (без ограничения числа проверенных деталей). Составить закон распределения числа проверенных деталей. Найти его математическое ожидание и дисперсию, если известно, что вероятность брака для каждой детали равна 0,1.
Решение
Случайная величина X – число проверенных деталей до обнаружения бракованной – имеет геометрическое распределение (4.11) с параметром р =0,1. Поэтому ряд распределения имеет вид
| X = m: | xi | 1 | 2 | 3 | 4 | … | m | … |
| pi | 0,1 | 0,09 | 0,081 | 0,0729 | … | 0,9m*0,1 | … |
По формулам:
, 
Пример 4.5
В лотерее «Спортлото 6 из 45» денежные призы получают участники, угадавшие 3, 4, 5 и 6 видов спорта из отобранных случайно 6 видов из 45 (размер приза увеличивается с увеличением числа угаданных видов спорта). Найти закон распределения случайной величины X – числа угаданных видов спорта среди случайно отобранных шести. Какова вероятность получения денежного приза? Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.
Решение
Число угаданных видов спорта в лотерее «6 из 45» есть случайная величина, имеющая гипергеометрическое распределение с параметрами п = 6, М = 6, N = 45. Ряд ее распределения, рассчитанный по формуле (4.14), имеет вид:
| X: | xi | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| pi | 0,40056 | 0,42413 | 0,15147 | 0,02244 | 0,00137 | 0,00003 | 0,0000001 |
Вероятность получения денежного приза
По формулам
, 
Таким образом, среднее число угаданных видов спорта из 6 всего 0,8, а вероятность выигрыша только 0,024.
Пример 4.6
Поезда метрополитена идут регулярно с интервалом 2 мин. Пассажир выходит на платформу в случайный момент времени. Какова вероятность того, что ждать пассажиру придется не больше полминуты. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины X – времени ожидания поезда.
Решение
Случайная величина X – время ожидания поезда на временном (в минутах) отрезке [0;2] имеет равномерный закон распределения φ(x)=1/2.
Поэтому вероятность того, что пассажиру придется ждать не более полминуты, равна 1/4 от равной единице площади прямоугольника (рис. 4.3), т.е.
 |
По формулам
мин, 
, 
мин.Пример 4.7
Доказать, что если промежуток времени Т, распределенный по показательному закону, уже длился некоторое время т, то это никак не влияет на закон распределения оставшейся части Т1= Т – х промежутка, т.е. закон распределения Т1остается таким же, как и всего промежутка Т.
Решение
Пусть функция распределения промежутка Т определяется по формуле (4.22), т.е. F(t) = 1–e-λt, а функция распределения оставшейся части T1 = Т– τ при условии, что событие Т > τ произошло, есть условная вероятность события Т1< t относительно события Т > τ , т.е. F1(t) = РT>х(T1<t).
Так как условная вероятность любого события B относительно события А
PA(B) = P(AB) / P(A),
то, полагая А = (Т > τ), B = (T1< t), получим
(4.25)Произведение событий (Т > τ) и T1 = Т– τ < t равносильно событию τ < Т < t + τ, вероятность которого
P(τ < Т < t + τ) = F(t + τ) – F(τ).
Так как P(Т > τ) = 1 – P(Т ≤ τ) = 1 – F(τ), то выражение (4.25) можно представить в виде:
Учитывая (4.22). получим
Пример 4.8
Установлено, что время ремонта телевизоров есть случайная величина X, распределенная по показательному закону. Определить вероятность того, что на ремонт телевизора потребуется не менее 20 дней, если среднее время ремонта телевизоров составляет 15 дней. Найти плотность вероятности, функцию распределения и среднее квадратическое отклонение случайной величины X.
Решение
По условию математическое ожидание М(х)=1/λ = 15, откуда параметр λ - 1/15 и по формулам (4.21) и (4.22) плотность вероятности и функция распределения имеют вид:
, 
, (х ≥ 0).Искомую вероятность Р(Х ≥ 20) можно было найти по формуле (3.22), интегрируя плотность вероятности, т.е.
,