Многокутники. Різновиди многокутників (стр. 2 из 3)
Означення. Паралельні сторони трапеції називаються основами трапеції.
8
Означення. Дві непаралельні сторони називаються бічними сторонами.
Означення. Трапеція, у якої бічні сторони рівні, називається рівнобічною.
рівнобічна трапеція. Означення. Відрізок, який сполучає середини бічних сторін, називається середньою лінією трапеції.
Означення. Трапеція називається прямокутною, якщо одна бічна сторона перпендикулярна до основи.
прямокутна трапеція.Теорема 1. Середня лінія трапеції паралельна основам і дорівнює їх півсумі.
Теорема 2. Паралельні прямі що перетинають сторони кута, відтинають від сторін кута пропорційні відрізки.
Трикутник. Різновиди трикутників.
Трикутник – 1) багатокутник із трьома сторонами;
2) це фігура, що складається з трьох точок, які не лежать на одній прямій, та трьох відрізків, які сполучають попарно ці точки. Відрізки називають сторонами трикутника, а точки – вершинами трикутника.
9
Трикутники рівні, якщо вони при накладанні співпадають. Трикутники рівні, якщо існує рух площини, що переводить один трикутник в інший.
Два трикутники подібні, якщо кути одного трикутника відповідно дорівнюють кутам іншого трикутника та сторони одного пропорційні відповідним сторонам іншого.
Медіана. Висота. Бісектриса.
Бісектриса трикутника – відрізок бісектриси кута, що з'єднує вершину трикутника з точкою протилежної сторони. Ділить кут трикутника навпіл.
Медіана трикутника – відрізок, який з'єднує вершину трикутника з серединою протилежної сторони.
Висота трикутника – перпендикуляр, проведений із вершини трикутника до прямої, що містить протилежну сторону. Утворює з перпендикулярною стороною кут 90°.
Кути. Види трикутників.
Якщо один з кутів прямий, то трикутник – прямокутний, якщо тупий – тупокутний, якщо всі кути гострі – гострокутний. Якщо в трикутнику дві сторони рівні, то трикутник – рівнобедрений, якщо три – рівносторонній.
Сума кутів трикутника дорівнює 180°. Проти більшої сторони трикутника лежить більший кут. Кожна сторона трикутника менша від суми двох інших сторін.
10
Ознаки рівності трикутників.
Перша ознака
Якщо дві сторони та кут між ними одного трикутника відповідно дорівнюють двом сторонам та куту між ними іншого трикутника, то такі трикутники рівні.
Друга ознака.
Якщо сторона і два прилеглих до неї кути одного трикутника відповідно дорівнюють стороні і двом прилеглим до неї кутам іншого трикутника, то такі трикутники рівні.
Третя ознака.
Якщо три сторони одного трикутника відповідно дорівнюють трьом сторонам іншого трикутника, то такі трикутники рівні.
Ознаки подібності трикутників.
1) Якщо два кути одного трикутника відповідно дорівнюють двом кутам іншого, то такі трикутники подібні.
2) Якщо дві сторони одного трикутника пропорційні двом сторонам іншого трикутника та кути, утворені цими сторонами, рівні, то такі трикутники подібні.
3) Якщо три сторони одного трикутника пропорційні трьом сторонам іншого трикутника, то такі трикутники подібні.
Ознаки рівності прямокутних трикутників.
1) Якщо катети одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють катетам іншого, то такі трикутники рівні.
2) Якщо катет і прилеглий до нього гострий кут одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють катету і прилеглому до нього гострому куту іншого, то такі трикутники рівні.
3) Якщо гіпотенуза і гострий кут одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють гіпотенузі та гострому куту іншого, то такі трикутники рівні.
11
4) Якщо гіпотенуза і катет одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють гіпотенузі і катету іншого, то такі трикутники рівні.
Побудова правильного многокутника.
Для побудови правильного многокутника, вписаного в коло, досить побудувати його центральний кут. У правильному шестикутнику такий кут дорівнює 60° , тому для побудови правильного шестикутника одну вершину (A1) на колі беремо довільно. З неї як із центра радіусом, що дорівнює радіусу кола, робимо зачіску і дістаємо вершину A2 (мал. 43). Аналогічно будуємо інші вершини A3, A4, A5, A6 і сполучаємо їх відрізками.
Для побудови правильного вписаного трикутника досить сполучити через одну вершини правильного вписаного шестикутника (мал. 44).
Для побудови правильного вписаного чотирикутника (квадрата) досить провести через центр кола перпендикулярні прямі. Вони перетнуть коло у вершинах квадрата (мал. 45). Для побудови правильного описаного многокутника досить провести дотичні до кола у вершинах правильного вписаного многокутника. Дотичні, що проходять через вершини правильного вписаного многокутника, перетинаються у вершинах правильного описаного многокутника (мал. 46).
12
Якщо в коло вписано правильний n – кутник, то легко побудувати правильний вписаний 2n – кутник. На малюнку 47 показано побудову правильного восьмикутника.
13
3. Збірка задач
№ 1. У паралелограмі ABCD проведено бісектрису Ð А (кута А), яка перетинає сторону ВС у точці Е. Чому дорівнюють відрізки ВЕ і ЕС, якщо АВ = 9см, АD = 15см?
РОЗВЯЗОК:
За умовою задачі ABCD – паралелограм зі сторонами АВ, ВС, СD та DА. АЕ – бісектриса Ð А. Сторони АВ = СD = 9см, а АD = ВС = 15см.
1) Якщо АЕ – бісектриса, тоді Ð ВАЕ = Ð ЕАD.
2) Ð ВЕА та Ð ЕАD – внутрішні різносторонні кути при паралельних ВС і АD і січній АF, тому кут Ð ВЕА = Ð ЕАD.
3) Якщо Ð ВЕА = Ð ЕАD, тоді кути Ð ВАЕ = Ð ВЕА є кутами при основі трикутника АВЕ.
4) Значить, трикутник АВЕ – рівнобедрений і бічні сторони АВ = ВЕ = 9см.
5) Виходить, що ВС = ВЕ + ЕС; ЕС = ВС – ВЕ = 15-9 = 6см.
ВІДПОВІДЬ: Відрізок ВЕ = 9см, а ЕС = 6см.
№ 2. У прямокутний трикутник, кожний катет якого дорівнює 6см, вписано прямокутник, який має з трикутником спільний кут. Знайдіть периметр прямокутника.
РОЗВЯЗОК: За умовою задачі АВ = ВС = 6см, а кут Ð ВАС = 90°, отже трикутник АВС – рівнобедрений та прямокутний.1) Якщо Ð ВАС = 90°, то кути Ð В = Ð С = (180° – 90°) : 2 = 45°.
2) Розглянемо трикутник ВМК: за умовою задачі, Ð К = 90°, Ð В = 45°, отже Ð КМВ = 180° – (90° + 45°) = 45°. А якщо Ð КМВ = 45°, то Ð КМВ = Ð КВМ, а трикутник ВМК – рівнобедрений. Звідси випливає, що ВК = КМ.
3) Тепер розглянемо трикутник ЕМС: за умовою задачі, Ð Е = 90°, Ð С = 45°, значить Ð М = 180° – (90° + 45°) = 45°. Це означає, що Ð М = Ð С і ЕМС – рівнобедрений трикутник. Тоді ЕМ = ЕС.
4) Виходить, що Р (АКМЕ) = АК+КМ+МЕ+ЕА = АК+КВ+АЕ+ЕС = АВ+АС = 6см + 6см = 12см.
ВІДПОВІДЬ: Периметр чотирикутника АКМЕ = 12см.
14
№ 3. У ромбі одна з діагоналей дорівнює стороні. Знайдіть кути даного ромба.
РОЗВЯЗОК:
За умовою задачі дано ромб АВСD. Діагональ АС = СD, а СD = АD як сторони ромба.
1) Якщо АС = СD, а АD = СD, то АС = СD = АD. Виходить, що трикутник АСD – рівносторонній. Тоді усі кути трикутника рівні, і Ð АDС = 180° : 3 = 60°.
2) Якщо Ð АDС = 60°, тоді за теоремою, протилежний кут АВС = 60° також.
3) Ð DАВ і Ð АDС – прилежні до однієї сторони ромба кути. Тому їх сума Ð DАВ + Ð АDС = 180°. А так як Ð АDС = 60°, то Ð DАВ = 180° – 60° = 120°.
4) Якщо Ð DАВ = 120°, тоді за теоремою, протилежний кут ВСD = 120° теж.
ВІДПОВІДЬ: Ð DАВ = 120°; Ð АВС = 60°; Ð ВСD = 120°; Ð СDА = 60°.
№ 4. У рівнобічної трапеції більша основа дорівнює 2,7м, бічна сторона 1м, а кут між ними 60°. Знайдіть меншу основу.
РОЗВЯЗОК:
За умовою задачі АВСК – рівнобічна трапеція, АВ = СК, Ð А = Ð К.
1) Отже трикутники АВВ1 = КСС1, при чому ВВ1 і СС1 перпендикулярно до АК. Значить АВ1 = КС1, а Ð ВВ1А = Ð СС1К = 90°. Відомо, що Ð ВАВ1 = 60°, тоді Ð АВВ1 = Ð КСС1 = 180° – (90° + 60°) = 30°.
2) Відомо, що катет, який лежить проти кута 30° дорівнює половині гіпотенузи, а отже АВ1 = КС1 = 0,5АВ = 0,5*1м = 0,5м.
3) Як протилежні сторони прямокутника, ВС = В1С1. АК = 2,7м. АК = АВ1 + КС1 + В1С1 = 2АВ1 + ВС = 2*0,5 + ВС = 1 + ВС.
4) Якщо АК = 1 + ВС, то ВС = АК – 1 = 2,7 – 1 = 1,7м.
ВІДПОВІДЬ: сторона ВС = 1,7м.
№ 5. Точки А, В, С, К лежать на одній прямій, при чому відрізки АВ і СК мають спільну середину О. Доведіть, що коли трикутник АВЕ рівнобедрений з основою АВ, то трикутник СКЕ з основою СК також рівнобедрений.
РОЗВЯЗОК:
За умовою задачі відрізки АВ і СК мають спільну середину О. Точки А, В, С, К лежать на одній прямій.
1) Проведемо відрізок ОЕ. Якщо О – середина відрізків АВ і СК, то ОЕ є медіаною трикутників АЕВ і СЕК. Якщо трикутник АЕВ – рівнобедрений, тоді ЕО є і висотою. За властивістю медіани рівнобедреного трикутника, ЕО перпендикулярно до СК.
2) Розглянемо трикутники ЕСО та ЕКО. За умовою задачі вони мають спільну сторону ЕО, а СО = ОК. Якщо ЕО перпендикулярно до СК, то кути Ð СОЕ = Ð КОЕ. Отже, за першою ознакою рівності трикутників, за двома сторонами і кутом між ними, трикутники ЕСО і ЕКО рівні.