Многокутники. Різновиди многокутників (стр. 1 из 3)

1. Вступ

Многокутники. Різновиди многокутників.

Многокутник — це проста замкнута ламана.

Він є опуклим, якщо лежить по одну сторону відносно прямої, що містить довільну його сторону. Кути многокутника (внутрішні) - це кути, утворені сусідніми сторонами.

Сума кутів опуклого n-кутника дорівнює (n-2)·180°. Правильний многокутник — це опуклий многокутник, у якого всі сторони і всі кути рівні. Навколо нього можна описати коло. В нього також можна вписати коло.

Центри вписаного і описаного кіл збігаються.

Площа правильного многокутника дорівнює половині добутку його периметра на радіус вписаного кола.

2. Основна частина

Чотирикутники. Основні елементи чотирикутника.

Означення. Чотирикутником називається фігура, яка складається з чотирьох точок (вершин) і чотирьох відрізків (сторін), які послідовно з'єднують точки.

Означення. Дані чотири точки А, В, С і D - вершини чотирикутника, а чотири відрізки АВ, ВС, СD, DА - сторони чотирикутника.

Домовимося відрізки в чотирикутнику позначати так само, як і їх довжини; АВ, ВС, СD, DА або а, b, с, d.

Мал. 1

Приклад. Нехай дано чотири точки А, В, С і D, кожні три із яких не лежать на одній прямій. Якщо їх сполучити послідовно відрізками, що не перетинаються, утвориться чотирикутник АВСD (мал.1).

Означення. Дві вершини чотирикутника, які є кінцями однієї сторони чотирикутника, називаються сусідніми вершинами чотирикутника.

Приклад. Вершини В і С - сусідні вершини чотирикутника, бо є кінцями однієї сторони чотирикутника.

Означення. Дві сторони чотирикутника, які не мають спільних точок, називаються протилежні сторони.

Приклад. Дві сторони АВ, СD - протилежні сторони чотирикутника, бо не мають спільних точок.

Означення. Дві сторони, які мають спільну вершину, називаються сусідні сторони.

Приклад. Дві сторони АD, СD - сусідні сторони чотирикутника, бо мають спільну вершину.

Означення. Діагоналлю чотирикутника називається відрізок, який з'єднує дві його несусідні вершини.

Приклад. Відрізки АС і ВD - це діагоналі чотирикутника АВСD, бо кожний з цих відрізків з'єднує дві несусідні вершини чотирикутника.

Домовимося діагоналі в чотирикутнику позначати так само, як і їх довжини: АС, BD або e, f - діагоналі чотирикутника і їх довжини.

Кожний чотирикутник поділяє площину, якій він належить, на дві області.

Означення. Внутрішня область чотирикутника - це множина усіх точок, які знаходяться всередині чотирикутника, тобто обмежені сторонами чотирикутника.

Мал. 2

Приклад. На малюнку 2 зафарбована внутрішня область чотирикутника, тобто це множина усіх точок, які знаходяться всередині чотирикутника.

Означення. Зовнішню область - це множина усіх точок, які знаходяться за межами чотирикутника, тобто необмежені сторонами чотирикутника.

Приклад. На малюнку 2 незафарбована зовнішня область чотирикутника, тобто це множина усіх точок, які знаходяться за межами чотирикутника.

Запам'ятайте: Об'єднання чотирикутника і його внутрішньої області називають також чотирикутником.

Саме такі чотирикутники мають на увазі, коли говорять про площі чотирикутників. Якщо не зрозуміло, про які чотирикутники йдеться, тоді їх розрізняють: «чотирикутник як контур» і «чотирикутник як частина площини».

Означення. Внутрішніми кутами чотирикутника АВСD називають кути, що утворені сусідніми сторонами, тобто, обмежують внутрішню область чотирикутника. Позначають кути чотирикутника: ÐDАВ, ÐАВС, ÐВСD і ÐСDА, або коротко внутрішні кути позначають ще так: ÐА, Ð В, Ð С, Ð D.

Означення. Внутрішні кути чотирикутника називають протилежними кутами чи сусідніми кутами залежно під того, протилежні чи сусідні їх вершини.

Запам'ятайте: Один з кутів чотирикутника може бути більшим від розгорнутого, тобто більшим від 180°.

Мал. 3

Приклад. На мал. 3 зображено чотирикутник з внутрішнім кутом більшим від розгорнутого, тобто більшим від 180°.

Класифікація чотирикутників за найбільшим кутом:

Означення. Чотирикутник з кутом більшим від розгорнутого, тобто більшим, ніж 180°, називають неопуклим чотирикутником. (мал. 3).

Означення. Якщо один із кутів чотирикутника дорівнює 180°, такий чотирикутник називають виродженим.

Означення. Якщо кожний кут чотирикутника менший від розгорнутого, його називають опуклим чотирикутником. (мал. 2).

Ми не розглядатимемо вироджені чотирикутники і, пишучи «чотирикутник», матимемо на увазі, що він невироджений.

Ознака опуклого чотирикутника: Для того щоб чотирикутник був опуклим, необхідно і достатньо, щоб його діагоналі перетинались.

Отже, діагоналі опуклого чотирикутника перетинаються і обидві лежать у його внутрішній області.

Діагоналі неопуклого чотирикутника не перетинаються і тільки одна з них лежить у внутрішній області чотирикутника.

Властивість опуклого чотирикутника: Опуклий чотирикутник лежить по один бік від будь-якої прямої, яка містить його сторону.

Означення. Суму довжин усіх сторін чотирикутника Р = АВ + ВС + СD + DА називають периметром. Половину периметра чотирикутника Р/2 = p називають півпериметром чотирикутника.

Домовимося відрізки в чотирикутнику позначати так само, як і їх довжини. Дотримуватимемось здебільшого таких позначень (мал. 4):

АВСD - чотирикутник;

А, В, С, D - вершини чотирикутника;

АВ, ВС, СD, DА або а, b, с, d - сторони і їх довжини чотирикутника;

ÐDАВ, ÐАВС, ÐВСD і ÐСDА або ÐА, Ð В, Ð С, ÐD - внутрішні кути чотирикутника;

Мал. 4

АС, BD або - діагоналі чотирикутника і їх довжини;

К, L, М, N - середини сторін чотирикутника;

p = Р/2 = (АВ + ВС + СD + DА):2 - півпериметр чотирикутника.

Правильний чотирикутник - квадрат.

Означення. Правильним чотирикутником називається чотирикутник, всі сторони і всі кути якого рівні.

Означення. Правильний чотирикутник називається квадратом.

Мал. 5

Приклад. Чотирикутник, у якого всі кути прямі, тобто рівні 90°, дві діагоналі рівні і чотири сторони рівні є квадратом. Чотирикутник, у якого рівні дві діагоналі і кути між діагоналями прямі, тобто рівні 90° є квадратом. (Мал. 5)

Класифікація чотирикутників за кількістю пар паралельних сторін.

Кожний чотирикутник можна розглядати як спільну частину (переріз) двох смуг, смуги і кута або двох кутів.

У першому випадку маємо паралелограм.

Мал. 6

Паралелограм.

Означення. Чотирикутник називається паралелограмом, якщо кожна пара протилежних сторін чотирикутника лежать на паралельних прямих.

Означення. Чотирикутник називається вільним, якщо у нього жодна пара протилежних сторін чотирикутника не лежить на паралельних прямих.

Приклад. Паралелограм АВСD - це чотирикутник, у якого протилежні сторони паралельні, тобто лежать на паралельних прямих (мал. 6).

Властивості паралелограма.

Теорема 1. Якщо діагоналі чотирикутника перетинаються і в точці перетину діляться пополам, то цей чотирикутник - паралелограм.

Теорема 2. Діагоналі паралелограма перетинаються і точкою перетину діляться пополам.

Теорема 3. У паралелограма протилежні сторони рівні, протилежні кути рівні.

Мал. 7

Доведення. Нехай АВСD - даний паралелограм (мал. 7). Проведемо діагоналі паралелограма АС, BD. Нехай О - точка їх перетину. Рівність протилежних сторін АВ і СD випливає з рівності трикутників АОВ і СОD. У них кути при вершині О рівні як вертикальні, а ОА +ОС і ОВ + OD за теоремою 2. Так само з рівності трикутників АОD і СОВ випливає рівність другої пари протилежних сторін АD і ВС.

Рівність протилежних АВС і СDА випливає з рівності трикутників АВС і СDА (за трьома сторонами). У них АВ+СВ і ВС + DА за доведеним, а сторона АС спільна.

Так само рівність протилежних кутів ВСD і DАВ випливає з рівності трикутників ВСD і DАВ. Теорему доведено.

До паралелограмів належать відомі вам чотирикутники: прямокутник, ромб, квадрат.

Прямокутник. Ромб.

Теорема 1. Діагоналі прямокутника рівні.

Твердження теореми випливає з рівності прямокутних трикутників ВАD і СDА. У них кути ВАD і СDА прямі , катет АD спільник, а катети АВ і СD рівні як протилежні сторони паралелограма. З рівності трикутників випливає, що їх гіпотенузи теж рівні. А гіпотенузи є діагоналями прямокутника. Теорему доведено.

Теорема 2. Діагоналі ромба перетинаються під прямим кутом. Діагоналі ромба є бісектрисами його кутів.

Доведення. Нехай АВСD - даний ромб., а О - точка перетину його діагоналей. За властивістю паралелограма АО=ОС . Отже у рівнобедреному трикутнику АВС відрізок ВО є медіаною. За властивістю рівнобедреного трикутника медіана, проведена до його основи, є бісектрисою і висотою. А це означає, що діагональ ВD є бісектрисою кута В і перпендикулярна до діагоналі АС. Теорему доведено.

Трапеція.

Означення . Трапецією називається чотирикутник, у якого тільки дві протилежні сторони паралельні, тобто, пара протилежних сторін чотирикутника лежать на паралельних прямих.