Система лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь Фундаментальна сукупність розвязків (стр. 2 из 3)
4) Якщо хоча би один мінор третього порядку матриці А відмінний від нуля, то
При цьому, якщо всі мінори четвертого порядку матриці А, які обводять відмінний від нуля мінор третього порядку матриці А, дорівнюють нулю, то 
... і т.д.Означення. Нехай r — ранг матриці
. Будь-який відмінний від нуля мінор 1-го порядку матриці називають її базовим мінором.7. Фундаментальна система розв’язків.
З теореми Кронекера-Капеллі випливає, що будь-яка система (2.2) лінійних однорідних рівнянь є сумісною. Вона має очевидний (тривіальний) розв'язок:
(його записують у вигляді (0.....0)). Якщо ранг матриці системи (2.2) дорівнює кількості невідомих, тобто 
, то така система має тільки нульовий розв'язок. Якщо ж 
, де 
, то в системі є n-r вільних невідомих, які можна дібрати так, щоб система (2.2) мала ще й ненульові розв'язки. Зазначимо, що система n лінійних однорідних рівнянь з n невідомими тоді і тільки тоді має розв'язки, відмінних від нульового, коли детермінант цієї системи дорівнює нулю.Нехай вектори
та є розв'язками с 
системи (2.2). Тоді при будь-якому дійсному k вектор 
також є розв'язком системи (2.2). Крім того, при будь-яких дійсних k та l вектор 
також є розв'язком системи (2.2). Іншими словами: будь-яка лінійна комбінація розв'язків системи (2.2) лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь є розв'язком цієї ж системи Сукупність усіх можливих розв'язків системи (2.2) називають простором розв'язків цієї системи.Систему (2.2) розв'язують за тим же алгоритмом, що й систему (2.1). При цьому, очевидно
і ми фіксуємо деякий базовий мінор матриці А системи (2.2). Потім виконуємо такі дії:1. Відкидаємо всі ті рівняння системи (2.2), коефіцієнти при невідомих у яких не складають рядок вибраного базового мінора матриці А, тобто залишаємо тільки
рівнянь системи (2.2).2. Всі невідомі в залишених нами рівняннях, коефіцієнти при яких не входять в базовий мінор, переносимо в праву частину рівняння (ці невідомі називають вільними).
3. Надаючи вільним невідомим довільних значень, знаходимо значення інших r невідомих (ці невідомі називаються головними).
Одержавши всі можливі розв'язки системи (2.2), ми можемо вибрати з них лінійно незалежні розв'язки. Для цього потрібно вільним невідомим (а їх є n-r, де
), наприклад, 
надавати такі сукупності значень 
(i=1,...), щоб ці n-r-вимірні вектори виявилися лінійно незалежними. Таких векторів можна вибрати n-r. Для кожного з цих лінійно незалежних n-r-вимірних векторів, компонентами яких є значення вільних невідомих, знаходимо відповідні значення головних невідомих 
, де (i=1,...,n-r). Тоді n-вимірні вектори 
(i=1,...,n-r) є лінійно незалежними розв'язками системи (2.2). Таку систему розв'язків системи (2.2) лінійних однорідних рівнянь називають лінійно незалежною.Зрозуміло, що лінійно незалежна система розв'язків системи (2.2) знаходиться неоднозначно. Це пов'язано з тим, що базовий мінор матриці системи (2.2) знаходиться неоднозначно, а, потім, довільним чином добираються лінійно незалежні рядки
значень вільних невідомих. Будь-яка лінійно незалежна система розв'язків системи (2.2) лінійних однорідних рівнянь називається її фундаментальною системою .Якщо вже вибрана деяка фундаментальна система розв'язків системи (2.2), наприклад
, то будь-який розв'язок 
цієї системи є лінійною комбінацією розв'язків фундаментальної системи, тобто 
, і навпаки, будь-яка лінійна комбінація розв’язків фундаментальної системи є розв'язком системи (2.2). Якщо коефіцієнти 
цієї лінійної комбінації вважати довільними, то вона (тобто, ця лінійна комбінація) називається загальним розв'язком системи (2.2).Серед фундаментальних систем розв'язків системи (2.2) виділяють нормальну фундаментальну систему, яка відповідає таким лінійно незалежним n-r-вимірним векторам значень вільних невідомих (1,0,...,0), (0,1,…,0),...,(0,0,...,1) (тут кожний з n-r-векторів є n-r-вимірним).
Нехай (2.1) — довільна неоднорідна система лінійних алгебраїчних рівнянь, (2.2) — відповідна їй однорідна система. Якщо вектор
—довільний розв'язок системи (2.1), а 
— довільний розв'язок системи (2.2), то 
є знову ж таки розв'язком неоднорідної системи лінійних рівнянь (2.1). Будь-який розв'язок лінійної неоднорідної системи (2.1) дорівнює сумі деякого розв’язку цієї системи і загального розв'язку відповідної їй однорідної системи (2.2). Такий розв'язок системи (2.1) називають її загальним розв’язком.Зауважимо також, що різниця двох розв'язків системи (2.1) є розв’язком системи (2.2).
2. Приклади розв’язання завдань.
Завдання 1. Знайти фундаментальну систему розв'язків та загальний розв'язок системи лінійних однорідних рівнянь:
Розв'язання. Кожна система лінійних однорідних рівнянь є сумісною. Знаходимо ранг матриці А цієї системи.
А =
Матриця А — ненульова, отже,
Обчислюємо мінори третього порядку матриці А, одержані обведенням відмінного від нуля мінора
другого порядку. Звернемо увагу на те, що третій і четвертий стовпці матриці А пропорційні відповідно першому та другому її стовпцям. Тому мінори, утворені обведенням за допомогою як третього, так і четвертого стовпців, дорівнюють нулю. Залишається обчислити ще два мінори, утворені обведенням за допомогою п'ятого стовпця. 
Таким чином, ранг матриці А дорівнює 2. Зважаючи на те, що її базовий мінор
розташовано в лівому верхньому куті матриці А, залишаємо в системі тільки перші два рівняння, а в їх лівих частинах — тільки перші дві невідомі. Інші три невідомі переносимо в праві частини, тобто вільними невідомими є 
. Маємо: 
Складемо таблицю для невідомих x1, x2, x3, x4, x5, відокремивши в ній головні (x1 та x2) і вільні (х3, х4, та х5) невідомі. Надаємо вільним невідомим (х3, х4, х5) такі, наприклад, значення: (1, 0, 0) =
1 , (0,1, 0) = 2 , (0, 0,1) = 
3 (вибір значень для вільних невідомих зроблено так, щоб вектори 1, 2 та 3 виявилися лінійно незалежними). Більше лінійно незалежних тривимірних векторів вибрати не можна. Для кожного набору значень вільних невідомих знаходимо відповідні значення головних невідомих. Одержана таблиця має такий вигляд: | x1 | х2 | х3 | х4 | х5 |
| х3+х5 | х4+х5 | х3 | х4 | х5 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 |
Другий рядок таблиці (х3+x5, х4+х5, x3, х4, х5) є загальним розв'язком розглядуваної системи, якщо х3, x4 та х5 є будь-які числа; третій — α1 = (1, 0, 1, 0, 0), четвертий — α2 = (0, 1, 0, 1, 0) та п'ятий — α3 = (1, 1, 0, 0, 1) є частинними розв'язками розглядуваної системи.