Система лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь Фундаментальна сукупність розвязків (стр. 3 из 3)

Останні рядки, тобто вектори α₁, α₂ та α₃ є лінійно незалежними, бо і лінійно незалежними є їх частини, відповідно,

₁, ₂ та ₃ . Вектори α₁, α₂ та α₃ утворюють фундаментальну систему розв'язків розглядуваної нами в цьому завданні системи. Зауважимо, що ми здійснили такий вибір значень вільних невідомих, при якому одержано нормальну фундаментальну систему α₁, α₂ та α₃ розв'язків заданої системи рівнянь.

Завдання 2. Знайти фундаментальну систему розв'язків.

Розв'язання. Кожна система лінійних однорідних рівнянь є сумісною. Знаходимо ранг матриці А цієї системи.

Матриця А — ненульова, отже,

Обчислюємо мінори третього порядку матриці А, одержані обведенням відмінного від нуля мінора

другого порядку. Бачимо, що перший і другий рядки однакові, тому нам досить обчислити два мінори третього порядку утворені обведенням першого стовпця і третього рядка, першого стовпця і четвертого рядка.

, тому що другий і третій рядки пропорційні.

Таким чином, ранг матриці А дорівнює 2. Зважаючи на те, що її базовий мінор

розташовано в правому верхньому куті матриці А, залишаємо в системі тільки перші два рівняння, а в їх лівих частинах — тільки ті невідомі, коефіцієнти при яких ввійшли до базового мінору. Інші дві невідомі переносимо в праві частини, тобто вільними невідомими є х₃ та х₄. Маємо:

Додамо до другого рівняння перше помножене на 3

Складемо таблицю для невідомих x₁, x₂, x₃, x₄, відокремивши в ній головні (x₃ та x₄) і вільні (х₁ та х₂) невідомі. Надаємо вільним невідомим (х₁ та х₂) такі, наприклад, значення: (1, 0) =

₁ , (0,1) = ₂, (вибір значень для вільних невідомих зроблено так, щоб вектори ₁ та ₂ виявилися лінійно незалежними). Більше лінійно незалежних векторів вибрати не можна. Для кожного набору значень вільних невідомих знаходимо відповідні значення головних невідомих. Одержана таблиця має такий вигляд:

1	0	-3	2
0	1	-3	2

Другий рядок таблиці

є загальним розв'язком розглядуваної системи, якщо х₁ та х₂ є будь-які числа; третій — α₁ = (1, 0, -3, 2) та четвертий — α₂ = (0, 1, -3, 2) є частинними розв'язками розглядуваної системи. Останні рядки, тобто вектори α₁ та α₂ є лінійно незалежними, бо і лінійно незалежними є їх частини, відповідно, ₁ та ₂ . Вектори α₁ та α₂ утворюють фундаментальну систему розв'язків розглядуваної нами в цьому завданні системи. Зауважимо, що ми здійснили такий вибір значень вільних невідомих, при якому одержано нормальну фундаментальну систему α₁ та α₂ розв'язків заданої системи рівнянь

Висновок

Можна визначити такий основний алгоритм знаходження фундаментальної системи розв’язків лінійних однорідних рівнянь:

1. Виписуємо матрицю системи, при цьому вибираємо один з мінорів, що відмінний від нуля найвищого порядку. Його назвемо базою мінор.

2. Тоді в розглядуваній СЛОР відкидаємо всі ті рівняння коефіцієнти при яких не увійшли до базового мінора.

3. В рівняннях, що залишилися переносимо у праву частину ті члени коефіцієнти при невідомих у яких не увійшли до базового мінора. Ці невідомі назвемо вільними невідомими. Ті ж невідомі, що залишилися у тій лівій частині назвемо – головними.

4. Виражаємо головні невідомі через вільні невідомі. Значення для вільних невідомих різними способами підбираємо так, що набори, які утворилися при цьому є лінійно незалежними.

5. Підставляючи ці значення у розв’язок для головних невідомих одержуємо фундаментальну систему розв’язків.

Використана література

1. Курош А. Г., “ Курс высшей алгебры ”, изд. 10, <<Наука>>, Москва, 1971 г., 432 стр.

2. Ф. Г. Ващук, С. С. Поляк, І. О. Пономарьова, “ Практикум з алгебри ”, Ужгород, 1997 р., 147ст.

3. Овчинников П. Ф., Яремчук Ф. П., Михайленко В. М.. Высшая математика – К.: Вища шк. Главное изд., 1987 г., 552 стр.

4. Ващук Ф. Г., Поляк С. С.. Практикум з вищої математики. Частина І: Елементи алгебри та аналітичної геометрії. – Ужгород: Гражда, 2005. – 294 с.: іл.