Система лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь Фундаментальна сукупність розвязків (стр. 1 из 3)

Міністерство освіти і науки України

Закарпатський державний університет

ІНСТИТУТ ІНФОРМАТИКИ

КАФЕДРА ФІЗИКО-МАТЕМАТИЧНИХ ДИСЦИПЛІН

Реєстраційний №____

Дата ______________

КУРСОВА РОБОТА

з вищої математики

Тема: Система лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь. Фундаментальна сукупність розв'язків.

Рекомендовано до захисту

“__” ____________ 2006 р.

Робота захищена

“__” ____________ 2006 р.

з оцінкою

__________

Підписи членів комісії:

студента II курсу

денного відділення

П. І. Б.

Науковий керівник

проф. П. І. Б.

Ужгород

Зміст

I. Вступ ______________________________________________________3

II. Теоретичний виклад матеріалу _________________________________4

1. Сумісність лінійних алгебраїчних рівнянь _____________________4

2. Ранг матриці ______________________________________________5

3. Фундаментальна система розв’язків __________________________7

4. Приклади розв’язання завдань _______________________________9

III. Висновок __________________________________________________14

Використана література ______________________________________15

Вступ

Спочатку нам потрібно розглянути те, як виглядають системи лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь, ознайомитися з тими компонентами, які входять у ці системи.

Отже, система m лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими в загальному випадку має вигляд:

(2.1)

Тут n і m — довільні натуральні числа, ніяк не пов'язані між собою; x_1, x₂,…,x_n — невідомі величини;

(коефіцієнти системи), (вільні члени) — довільні відомі числа.

В цій роботі нас цікавитиме система, у якої всі вільні члени дорівнюють нулю. Тобто однорідна система до системи (2.1), яка має такий вигляд:

(2.2)

Вона буде називається однорідною системою, відповідною до системи (2.1).

Система ж (2.1) називається неоднорідною, якщо

(принаймні одне з чисел є відмінним від нуля).

Розв'язком системи (2.1) (системи (2.2)) називається така впорядкована система n чисел

яка при підставленні в систему (2.1) (систему (2.2)) на місце невідомих відповідно, тобто замість , підставляємо , замість , підставляємо і т. д., перетворює всі рівняння системи (2.1) (системи (2.2)) в правильні рівності. Розв'язок записують у вигляді n- вимірного вектора .

Теоретичний виклад матеріалу

5. Сумісність лінійних алгебраїчних рівнянь.

Будь-яка система рівнянь називається сумісною, якщо вона має принаймні один розв'язок, і — несумісною, якщо вона не має жодного розв'язку. При цьому сумісна система називається визначеною, якщо вона має тільки один розв'язок, і — невизначеною, якщо вона має більше, ніж один розв'язок.

Дві системи рівнянь називаються еквівалентними, якщо обидві вони несумісні, або якщо обидві вони сумісні та мають одні й ті ж розв'язки. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь є еквівалентними, якщо вони одержуються одна з однієї шляхом застосування скінченної послідовності таких перетворень.

• переставляння місцями двох рівнянь системи (елементарне перетворення першого роду),

• додавання до якогось рівняння системи іншого рівняння цієї системи, помноженого на деяке число (елементарне перетворення другого роду).

Кожній системі лінійних алгебраїчних рівнянь (2 1) чи (2.2) відповідає деяка матриця

(2.3)

її називають матрицею цієї системи. Для системи (2.1) можна виписати матрицю

(2.4)

Її називають розширеною матрицею системи (2.1).

З іншого боку, кожну

- матрицю можна розуміти як матрицю деякої системи m лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими, а - матрицю як розширену матрицю деякої неоднорідної системи m лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими. Останнє зауваження означає, що система m лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими з точністю до позначень невідомих, задається своєю розширеною - матрицею.

Неважко помітити, що, проводячи елементарні перетворення першого і другого роду в системі лінійних алгебраїчних рівнянь, ми маємо справу лише з коефіцієнтами при невідомих. Через це значно простіше виконувати елементарні перетворення, оперуючи не з самою системою, а лише з її розширеною матрицею. Таким чином, елементарні перетворення першого і другого роду над системами лінійних алгебраїчних рівнянь з невідомими здійснюються, як перетворення відповідних їм матриць. При цьому переставлянню місцями двох рівнянь системи відповідає переставляння місцями двох рядків матриці системи (елементарне перетворення першого роду), а додаванню до якогось рівняння системи іншого рівняння цієї системи, помноженого на деяке число, відповідає додавання до якогось рядка матриці системи іншого її рядка, помноженого на деяке число (елементарне перетворення другого роду).

6. Ранг матриці.

Нехай

– система таких n-вимірних векторів, що:

,

тобто

— система векторів-рядків матриці А. Цю систему можна впорядковувати різними способами.

Нехай

— певним чином впорядкована система векторів-рядків матриці А. Вилучаючи з цієї системи ті вектори-рядки матриці А, які лінійно виражаються через попередні, одержуємо лінійно незалежну підсистему векторів-рядків матриці А.

Зрозуміло, що впорядковуючи різними способами систему векторів-рядків матриці А, ми будемо одержувати, загалом, різні лінійно незалежні підсистеми лінійно незалежних векторів-рядків матриці А. Спільним для всіх таких підсистем є кількість векторів-рядків матриці А, що входять до них. Власне, це число називається рангом системи векторів-рядків матриці А.

Означення. Рангом матриці А називається ранг системи її векторів-рядків.

Нехай А — довільна прямокутна

матриця, k — таке натуральне число, що Зафіксуємо в цій матриці k рядків і k стовпців. Не змінюючи взаємного розташування елементів матриці А, розташованих на перетині зафіксованих рядків і стовпців, складемо з них матрицю k-го порядку. Детермінант цієї матриці називається мінором k-го порядку матриці А.

Кажуть, що мінор r+1-го порядку матриці А обводить мінор 1-го порядку, якщо він містить його в собі повністю.

Теорема. Найвищий порядок r відмінних від нуля мінорів матриці А дорівнює рангу цієї матриці.

Наслідок 1. Ранг системи векторів-рядків матриці А дорівнює рангові системи векторів-стовпців цієї матриці.

Наслідок 2. Детермінант квадратної матриці дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли якийсь її рядок є лінійною комбінацією інших її рядків.

Для знаходження рангу матриці А розмірності

використовують такий алгоритм:

1) Якщо всі елементи матриці А дорівнюють нулю, тобто

, то її ранг R(A) дорівнює нулю.

2) Якщо хоча би один елемент матриці А відмінний від нуля, то

При цьому, якщо всі мінори другого порядку

матриці дорівнюють нулю, то

.

3) Якщо хоча би один мінор другого порядку матриці А відмінний від нуля, то

При цьому, якщо всі мінори третього порядку

матриці А, які обводять відмінний від нуля мінор другого порядку матриці A, дорівнюють нулю, то

.