Обчислювальна математика (стр. 2 из 2)
Теорема розкладання дозволяє також обчислювати визначники більше високого порядку, зводячи їх до обчислення декількох визначників третього або другого порядку.
Так, визначник четвертого порядку можна звести до обчислення чотирьох визначників третього порядку.
2.МЕТОД КРАМЕРА
Метод Крамера (Крамера правило) - спосіб рішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь із ненульовим визначником основної матриці (причому для таких рівнянь рішення існує і єдино). Створений Габріелем Крамером в 1750 році.
2.1 Теорема Крамера для системи 2 рівнянь із 2 невідомими
Розглянемо систему двох лінійних рівнянь із двома невідомими.
(2.1)Тут х1, х2 – невідомі;
а11, …, а22 – коефіцієнти при невідомих, занумерованими двома індексами, де перший індекс означає номер рівняння, а другий індекс – номер невідомого.
b1, b2 – вільні члени.
Нагадаємо, що під рішенням системи розуміється пара значень х1, х2, які при підстановці в обоє рівнянь обертають їх у вірні рівності.
У випадку, коли система має єдине рішення, це рішення можна знайти за допомогою визначників другого порядку.
Визначник, складений з коефіцієнтів при невідомих, називається визначником системи.
Позначимо визначник системи D.
D =
. (2.2)У стовпцях визначника D стоять коефіцієнти відповідно при х1 і при, х2.
Уведемо два додаткових визначника, які утворюються із визначника системи заміною одного зі стовпців стовпцем вільних членів:
D1 =
D2 = 
. (2.3)Тепер розглянемо теорему Крамера (для випадку n = 3)
Якщо визначник D системи відмінний від нуля (D ¹ 0), то система має єдине рішення, що перебуває по формулах:
(2.4)Дані формули називаються формулами Крамера.
Наприклад. Вирішити систему за правилом Крамера.
.Відповідь: х1 = 3; х2 = -1
2.2 Теорема Крамера для системи 3 рівнянь із 3 невідомими
Розглянемо систему трьох лінійних рівнянь із трьома невідомими:
(2.5)У випадку єдиного рішення систему можна вирішити за допомогою визначників третього порядку.
Визначник системи
має вигляд: 
(2.6)Уведемо три додаткових визначники:
. (2.7)Аналогічно формулюється теорема.
Якщо визначник
системи відмінний від нуля, то система має єдине рішення, що перебуває по формулах: 
(2.8)Дані формули є формули Крамера.
2.3 Теорема Крамера для системи n рівнянь із n невідомими
Розглянемо систему n лінійних рівнянь із n невідомими
(2.9)Якщо головний визначник системи
(2.10)то єдине рішення системи записується у вигляді:
(2.11)Ми i-й стовпець матриці системи заміняється стовпцем вільних членів.
Наприклад:
Визначники:
Помітимо, що теорема Крамера застосовна, коли число рівнянь дорівнює числу невідомих і коли визначник системи
відмінний від нуля.Якщо визначник системи дорівнює нулю, то в цьому випадку система може або не мати рішень, або мати незліченну множину рішень.
3 ПРОГРАМНА РЕАЛІЗАЦІЯ
3.1 Блок схема прогами
3.2.Програма
#include <iostream.h>
#include <math.h>
double funk1( int z);
double ma_x[100][100];
double vol_ch[100];
double matrix1[100][100];
double ma_666x[100][100];
double GL_V_viz;
double Viz_d;
double otveti[100];
double X;
int g,j;
double Deter;
void main (void)
{
cout <<" vvedi ckolko y tebia yravneniy v cicteme ";
int n;
cin >> n;
while ( n > 4 ||n < 1)
{
cout<<"Vu ne mogete vvesti bol'she 4 ili men'she 2 uravneniya, vvedite esche raz ";
cin>>n;
}
//ведення кофіцієнтів при невідомих
int k,m;
for ( k =1; k <=n;k++){
for( m=1; m <=n; m++){
cout << "Vvedite koficient a [ "<<k<<","<<m<<" ]";
cin >> ma_666x[k-1][m-1];}}
//ведення вільного члена
for (k=1;k<=n;k++){
cout<<"Vedite volniy chlen [ "<<k<<" ]";
cin >>vol_ch[k-1];}
//якщо 4 рівнянь системи з 4 невідомими
if(n==4){
cout<<"MATRICA GOLOV-GO VIZ-KA"<<endl;
for(int m=0;m<=3;m++){
cout<<" "<<ma_666x[m][0]<<" "<<ma_666x[m][1]<<" "<<ma_666x[m][2]<<" "<<ma_666x[m][3]<<endl;}
//знаходимо визначник склавши усі добутки коефіцієнтів на їх алгебраїчне доповнення
for (k=0;k<=n-1;k++){
for(int e6=0;e6<=3;e6++){
for( g=0;g<=3;g++){
ma_x[e6][g]=ma_666x[e6][g];}}
GL_V_viz +=ma_x[1][k] *pow(-1,k+1) * funk1(k); }
cout<<"GOLOVNIY VIZNACHNIC ="<<GL_V_viz<<endl;
cout<<"................................................"<<endl;
if(GL_V_viz==0){cout<<"Net resheniy!\n";}
//далі знаходимо додаткові визначники і одразу ж невідомі системи
if(GL_V_viz!=0){
k=0;//k - e ctovpci
do
{
for(m=0;m<=3;m++){
for( g=0;g<=3;g++){
ma_x[m][g]=ma_666x[m][g];}}
//підставим у Кий стовпець основої матриці стовпець із вольних членів, утворивши додаткові визначники.
for (m=0;m<=3;m++ ){
ma_x[m][k]=vol_ch[m];}
Viz_d=0;
/* dali cherez rozkladennia
po 2 riadky znaidem dodatkov viz-k*/
for ( m=0;m<=n-1;m++ ){
Viz_d+= ma_x[1][m]*pow(-1,m+1)*funk1(m);
}
cout<<"VIZNACHNIC DODATKOVIY"<<k+1<<"="<< Viz_d<<endl;
X=Viz_d/GL_V_viz;
otveti[k]=X;
cout<<"................................................."<<endl;
k++;
}
while (k<=3);}
}
else
{
//при 3 ьох рівнянь з 3 невідомими
if(n==3)
{
//головний визначник
for(int e6=0;e6<=2;e6++){
for( g=0;g<=2;g++){
matrix1[e6][g]=ma_666x[e6][g];}}
int u;
u=666;
GL_V_viz=funk1(u);
cout<<"GOLOVNIY VIZNACHNIC ="<<GL_V_viz<<endl;
if(GL_V_viz==0){cout<<"Net resheniy!\n";}
// додаткові визначники та одразу ж невідомі системи
if(GL_V_viz!=0){
k=0;
do
{
for(int e6=0;e6<=2;e6++){
for( g=0;g<=2;g++){
matrix1[e6][g]=ma_666x[e6][g];}}
for (m=0;m<=2;m++ ){
matrix1[m][k]=vol_ch[m];}
Viz_d=funk1(u);
X=Viz_d/GL_V_viz;
otveti[k]=X;
k++;
}
while(k<=2);}
}
else{
//при 2 рівнянь з 2 невідомими
// головний визначник
if(n==2)
GL_V_viz= ma_666x[0][0]*ma_666x[1][1]-ma_666x[0][1]*ma_666x[1][0];
cout<<"GOLOVNIY VIZNACHNIC ="<<GL_V_viz<<endl;
if(GL_V_viz==0){cout<<"Net resheniy!\n";}
// додаткові визначники та одразу ж невідомі системи
if(GL_V_viz!=0){
k=0;
do
{
for(int e6=0;e6<=1;e6++){
for( g=0;g<=1;g++){
matrix1[e6][g]=ma_666x[e6][g];}}
for (m=0;m<=1;m++ ){
matrix1[m][k]=vol_ch[m];}
Viz_d=matrix1[0][0]*matrix1[1][1]-matrix1[0][1]*matrix1[1][0];;
X=Viz_d/GL_V_viz;
otveti[k]=X;
k++;
}
while(k<=1);}
}
}
// для виведення відповіді на екран
if(GL_V_viz!=0){
cout<<"OTVET: ";
for ( m=0;m<=n-2;m++ ){
cout<<"X"<<m+1<<"= "<<otveti[m]<<", ";
}
cout<<"X"<<n<<"= "<<otveti[n-1]<<"."<<endl;}
}
//функція що утримує нову матрицю, викреслюючи деякий z-ий стовпець та 2 рядок. А потім підраховує визначник нової матриці уже 3 порядку
double funk1( int z)
{
// тут функція отримує нову матрицю 3 порядку з матриці 4 го
if(z!=666) {
for(int e=0;e<1;e++){
for( g=0;g<z;g++){
matrix1[e][g]=ma_x[e][g];
}}
for(e=0;e<1;e++){
for(g=z+1;g<=3;g++){
matrix1[e][g-1]=ma_x[e][g];
}}
for(e=2;e<=3;e++){
for(g=0;g<z;g++){
matrix1[e-1][g]=ma_x[e][g];
}}
for (e=2;e<=3;e++){
for(g=z+1;g<=3;g++){
matrix1[e-1][g-1]=ma_x[e][g];
}}
}
//тут рахує визначник отриманої 3 порядку
//a11a22a33 +a12a23a31 +a13a21a32 -a13a22a31 -a11a23a32 -a12a21a33
Deter=matrix1[0][0]*matrix1[1][1]*matrix1[2][2]+matrix1[0][1]*matrix1[1][2]*matrix1[2][0]
+matrix1[0][2]*matrix1[1][0]*matrix1[2][1]-matrix1[0][2]*matrix1[1][1]*matrix1[2][0]
-matrix1[0][0]*matrix1[1][2]*matrix1[2][1]-matrix1[0][1]*matrix1[1][0]*matrix1[2][2];
return Deter;
}
3.2 Приклад роботи програми
СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ
1. Апатенок Р.Ф. Елементи лінійної алгебри й аналітичної геометрії.Мінськ: вища школа,1977 р. - 257 с.
2. Глушаков С.В. і ін. Мова програмування С++. -харків: Фоліо, 2002. - 500 с.
3. ДЕРЖСТАНДАРТ 19.701-90. ЕСПД. Схеми алгоритмів, програм, даних і систем. Умовні позначки й правила виконання.- М.: 1991.
4. Дейтел Х.М. Дейтел П.Дж. Як програмувати на С++: Пер. с англ. - М.: ЗАТ “Видавництво БІНОМ”, 2000 р. - 1024 с.: іл.
5. Страуструп Б. Мова програмування С++. Частина 1. - Київ: "Диасофт", 1993. - 264 с.
6. Страуструп Б. Мова програмування С++. Частина 2. - Київ: "Диасофт", 1993. - 296 с.
7. Холзнер С. VISUAL C++6: навчальний курс - Спб: Видавництво “ Пітер”, 2000. -576 с.